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凸体のミンコフスキー和がいまいち分かりません。
こんにちは。 golem.ph.utexas.edu/category/2011/08/mixed_volume.html を読んでいて分からない事がありましたので質問させて下さい。 A,Bが凸体の時,凸体A+B:={a+b∈R^n;a∈A,b∈B}をAとBのミンコフスキー和 en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_addition といい, Vol(A)と書いたらAの(ルベーグ測度での)n次元体積の事で, Vol(xA+yB)=Vol({xa+yb∈R^n;a∈A,b∈B})=c_1x^2+c_2xy+c_3y^2と求まる時, 実係数c_1,c_2,c_3を夫々2!/(2!0!)V(A,A),2!/(1!1!)V(A,B),2!/(0!2!)V(B,B)と書き,これらV(A,A),V(A,B),V(B,B)をAとAの混合積,AとBの混合積,BとBの混合積 と呼ぶのだと推測します。 同様にV_1,V_2,…,V_k (k∈N)についての定義は, Vol(Σ_{j=1..k}x_jV_j)=Σ_{i_1+i_2+…+i_l=n,0≦l≦m:=min{n,k}}c(i_1,i_2,…,i_l)x_1^{i_1}x_2^{i_2}…x_m^{i_l}の時, V(A_1,…,A_1,A_2,…,A_2,…,…,A_l,…,A_l):=1/(n!/(i_1!i_2!…i_l!))c(i_1,i_2,…,i_l) (ここで,A_1,…,A_1,A_2,…,A_2,…,…,A_l,…,A_l)は夫々i_1個,i_2個,…,i_l個並ぶ) と書けるのだと思います。合ってますか? それで「Why is that so? The picture below shows an …」のくだりからがいまいちよく分かりません。 青四角形のAと4つの緑卵形のどの一つとのミンコフスキー和はt=1の場合で考えてみても灰色の軽く領域を飛び出してしまうと思うのですが、、 (en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_addition でのミンコフスキー和の例図は納得できます) ここでの図は間違ってるのでしょうか。 一体,A+tBという凸体はどうなっているのでしょうか?
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お礼
すっかり遅くなりまして大変申し訳ありません。 ご紹介いただいた図で漸く納得できました。 AとBは離れた場所にあり,左下の五線が交わっている点を原点として見立てれば 灰色の図形はA+Bの事となるのですね。 これなら en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_addition のミンコフスキー和の説明とも合致しますね。