数二のもんだいです。

質問

数二のもんだいです。
この問題の解き方がわからないです。教えてください。

回答No.2

noname#232123 · ベストアンサー

２接点を、(α, α^2+1), (β, β^2+1), (α<β) とすると求める面積Ｓは、
S=∫[α, β](x^2+1)dx - (1/2){(t - α)(α^2+1) + (β - t)(β^2+1)}...(*)
ただし、α+β=2t, αβ=-1 です。
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※ まず(*)を導いてください。S=(2/3)(t^2+1)^(3/2).

回答No.1

bran111

y=x^2+1上の点F(p,p^2+1)における接線はy'=2xなので

y-(p^2+1)=2p(x-p)

y=2px-p^2+1

これがP(t,0)を通ることから

-(p^2+1)=2p(t-p)

整理して

p^2-2tp-1=0

よってこのような接線は2本あり、他の接線の接点の座標を(q,q^2+1)とすると

p+q=2t (1)
pq=-1 (2)

p<0<qとする。

S=∫(p,t)[x^2+1-(2px-p^2+1)]dx+∫(t,q)[x^2+1-(2qx-q^2+1)]dx
=[x^3/3-px^2+p^2x](p,t)+[x^3/3-qx^2+q^2x](t,q)
=t^3/3-pt^2+p^2t-(p^3/3-p^3+p^3)+q^3/3-q^3+q^3-(t^3-qt^2+q^2t)
=(q^3-p^3)/3-(q^2-p^2)t+(q-p)t^2
=(q-p)[(q^2+qp+p^2)/3-(q+p)t+t^2]
(1),(2)より
(q-p)^2=(q+p)^2-4pq=4t^2+4=4(t^2+1)
q-p>0なので
q-p=2√(t^2+1）
q^2+qp+p^2=(p+q)^2-pq=4t^2+1
S=2√(t^2+1)[(4t^2+1)/3-2t^2+t^2]
=(4/3)(t^2+1)^(3/2)

dS/dt=(4/3)(3/2)(t^2+1)^(1/2)2t=4t(t^2+1)^(1/2)

ds/dt=0となるのはt=0

Sの最小値＝4/3