変成器回路のインピーダンス

質問

前質問で取り扱った問題と全く同じものです。
写真上の回路において、端子2-2'側から見たインピーダンスを求める問題です。
答えは{Zb(Za+(n^2)Zc)}/{Zb+Za+(n^2)Zc}となります。
今回はまず写真下の様にインピーダンスZcの容量を(n^2)Zcとしたあと、右側に移動して直列に繋ぎました。この変形に関しては間違いは無いでしょうか。

次に端子1-1'側から[F]行列を作っていくと、
[F]=[1/n, 0 ; 0,n]*[1, (n^2)Zc ; 0,1]*[1,Za ; 0,1]*[1,0 ; 1/Zb,1]となり、これを計算すると、[F]=[A,B ; C,D]として、A=(Za+Zb+(n^2)Zc)/nZb, B={Za+(n^2)Zc}/n, C=n/Zb, D=nとなりました。
ここで[v1 ; i1]=[F]*[v2 ; i2]より、v1=A(v2)+B(i2), i1=C(v2)+D(i2)という2つの式が出てきました。

ここで[F]のAとBの要素を元に答えが出せるのではないかと考えていますが、なかなか解けません。
もし、今回作った[F]行列が正しい場合は、ここから端子2-2'側から見たインピーダンスを出す方法を教えてください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

下側の図の理想変成器は(n^2)Zcを理想変成器の２次側に移すとなくなって、単なる短絡回路になります（E1=0)。
[E1;I1]=[A,B;C,D][E2;I2]
[F]=[A,B;C,D]=
>[1/n, 0 ; 0,n]*[1, (n^2)Zc ; 0,1]*[1,Za ; 0,1]*[1,0 ; 1/Zb,1]
>A=(Za+Zb+(n^2)Zc)/nZb, B={Za+(n^2)Zc}/n, C=n/Zb, D=n

[F]の逆行列を[F']とすると
[F']=[F]^-1=[A',B';C',D']
A'=n, B'=-(n^2*Zc+Za)/n, C'=-n/Zb, D'=(n^2*Zc+Zb+Za)/(n*Zb)
[E2;-I2]=[F'][E1;-I1]=[A',B';C',D'][E1;-I1]
[E2;I2]=[A',-B1;-C',D'][E1;I1]

Z22'=(E2/I2)_(E1=0)= -B'/D'
={(n^2*Zc+Za)/n}/{(n^2*Zc+Zb+Za)/(n*Zb)}
={Zb(Za+(n^2)Zc)}/{Zb+Za+(n^2)Zc}
となり(答)の
>{Zb(Za+(n^2)Zc)}/{Zb+Za+(n^2)Zc}
が得られます。

お礼

丁寧に説明していただきありがとうございます。
Zcを移すと、1-1'端子は短絡されてE1=0になる訳ですね。開放されるのかと感違いしていました。

次に
[E2;-I2]=[F'][E1;-I1]=[A',B';C',D'][E1;-I1]
[E2;I2]=[A',-B1;-C',D'][E1;I1]の行列式の変形手順についです。
まず逆行列をかけて[E2;I2]=[F'][E1;I1]となった後、[E2;-I2]=[F'][E1;-I1]とI2, I1の符合がどちらもマイナスになっていますが、これについてはどのように考えたら良いのでしょうか。

回答No.5

tadys

添付されていた画像の上の回路と下の回路は等価ではありません。
なぜなら、下の回路の１－１’間はオープンになっているので電流が流れせん。
その為、トランス（変成器）の右側にも電流が流れません。
電流が流れないのですから、n^2・ZcとZaは存在しないのと同じことになります。

n^2・ZcはトランスとZaの間に入るのではなく、トランスの右側の端子間に入ります。

お礼

写真の2つの回路の等価性について、より詳しい説明をしていただきありがとうございます。
端子1-1'は開放されているため電流が流れず、この時右側にも電流が流れなくなる訳ですね。
この端子1-1'をオープンした状態で写真上の回路を等価変換する場合は、
(n^2)Zcはトランスのすぐ右側に並列につなぐという事でしょうか？
そのように考えた上で[F]行列を実際に端子2-2'側から作ってみると、[F]=[A,B;C,D]として、A=n+{Za/((n^2)Zc)}, B=Za, C=(n/Zb)+(Za/(nZbZc))+(1/nZc), D=(Za/nZb)+(1/n)となりました。
ここで[V1;I1]=[F][V2;I2]の式と、また端子1-1'をオープンしているためI2=0とすると、Z=V1/I1=A/Cより答えが出てきました。

回答No.4

178-tall

> … [F]=[A,B;C,D]のA,Bを用いたV1=A*(V2)+B*(I2)の式について、V1=0とするとV2/I2=(-1)*(B/A)となります。ここで[F]行列を作った時に電流I2の向きは左から右方向で、高電位方向を向いていたと思いますので、I2を右向きから左向きへと変えて(-I2)=I2'として、V1=A*(V2)+B*(I2')=A*(V2)-B(I2)の式からZ=B/Aと求めれば良いのでしょうか。

縦続行列 [F] = [A　B ; C　D ] のポート電流は、
　　I1 が 2 ポート内へ流入する方向
　　I2 が 2 ポート外へ流出方向、
で、おっしゃる通り非対称。

縦続行列 [F] = [A　B ; C　D ] の逆行列 [F]^(-1) は、
　[F]^(-1) = [D　-B ; -C　A ]

ならば、2 ポートを左右反転したときの縦続行列 [F]^t は？
　[F]^t = [D　B ; C　A ]
これは、上記の「ポート電流の非対称性」による結果です。

(ご確認のほどを…)

お礼

1-1'端子を短絡して、n^2Zcを右側に直列に繋ぎ、端子1-1'側から作った[F]行列を[F]=[A,B;C,D]とすると、まず左右2ポートを反転して、この時恐らく右側が端子1-1'になると思うのですが、新たな端子1-1'側から[f]行列を作ると、以前の[F]のA,B,C,Dを用いて、確かに[f]=[D, B;C,A]となりました。

回答No.3

info222_

>まず逆行列をかけて[E2;I2]=[F'][E1;I1]となった後、[E2;-I2]=[F'][E1;-I1]とI2, I1の符合がどちらもマイナスになっていますが、これについてはどのように考えたら良いのでしょうか。

[F]行列の定義における電流の向きの定義が、[F]=[A,B;C,D]と[F']=[A',B';C',D']とでは逆向きなので、電流にマイナスを付きますが、そのマイナスを[F']のA',B'C',D'
に含める処理をすれば見かけ上[F]のときの式と同様に扱える分けです。
I2'=-I2, I1'=-I1
E2=E2', E1=E1'

お礼

逆行列をかけて出てきた行列式の電流I1とI2の向きが、元の向きとそれぞれ逆転している事を知りませんでした。
I'1=-I1, I'2=-I2になったと考えて、マイナスを[F']の要素に絡めて元のI1,I2に戻すと、最初の[F]を作った時と見かけ上同様に考える事ができ、これからZを求める事が出来ました。

丁寧に解説していただきありがとうございました。

回答No.2

178-tall

>写真上の回路において、端子2-2'側から見たインピーダンスを求める問題です。
>答えは{Zb(Za+(n^2)Zc)}/{Zb+Za+(n^2)Zc}となります。
>今回はまず写真下の様にインピーダンスZcの容量を(n^2)Zcとしたあと、右側に移動して直列に繋ぎました。この変形に関しては間違いは無いでしょうか。

上と下の回路は、2 ポートとして等価じゃありません。
2-2' ポートから見たインピーダンスを求めるには、
　上の回路なら、1-1' ポートを開放する
　下の回路なら、1-1' ポートを短絡する
… という違い。

>次に端子1-1'側から[F]行列を作っていくと、
>[F]=[1/n, 0 ; 0,n]*[1, (n^2)Zc ; 0,1]*[1,Za ; 0,1]*[1,0 ; 1/Zb,1]となり、これを計算すると、[F]=[A,B ; C,D]として、A=(Za+Zb+(n^2)Zc)/nZb, B={Za+(n^2)Zc}/n, C=n/Zb, D=nとなりました。
>ここで[v1 ; i1]=[F]*[v2 ; i2]より、v1=A(v2)+B(i2), i1=C(v2)+D(i2)という2つの式が出てきました。
>ここで[F]のAとBの要素を元に答えが出せるのではないかと考えていますが、なかなか解けません。
>もし、今回作った[F]行列が正しい場合は、ここから端子2-2'側から見たインピーダンスを出す方法を教えてください。

[F] は [1/n, 0 ; 0,n]*[1, (n^2)Zc+Za ; 0,1]*[1,0 ; 1/Zb,1] でも可。
上述のように、「1-1' ポートを短絡」したときの 2-2' ポートから見たインピーダンスを勘定する。
　Z = B/A
　= [ {Za+(n^2)Zc}/n ] / [ (Za+Zb+(n^2)Zc)/nZb ]
　= … …

お礼

分かりやすく説明していただきありがとうございます。まず容量Cを移動した後、端子1-1'を短絡すべきでした。
[F]=[A,B;C,D]のA,Bを用いたV1=A*(V2)+B*(I2)の式について、V1=0とするとV2/I2=(-1)*(B/A)となります。ここで[F]行列を作った時に電流I2の向きは左から右方向で、高電位方向を向いていたと思いますので、I2を右向きから左向きへと変えて(-I2)=I2'として、V1=A*(V2)+B*(I2')=A*(V2)-B(I2)の式からZ=B/Aと求めれば良いのでしょうか。