中空球の慣性モーメント

質問

外径20cm,内径15cm,質量4kgの中空球の球心を通る慣性モーメントを求めたいのですが、公式は使えてもなぜそうなるのかが理解できません。分かり難い質問ですみませんが、どなたか解説お願いします。

回答No.6

sanori · ベストアンサー

＃３、＃４、＃５の者です。
私なりに解明できましたので、以下に説明します。

まず、半径ｒ（ｃｍ）、幅ｗ（ｃｍ）、面密度ρ（ｋｇ／ｃｍ^2）のリング（円）が、円の面と同じ（平行な）面内で、円の中心の周りに回転する慣性モーメントＡを求めましょう。

２πｒρｗ・ｒ^2＝２πρｗ・ｒ^3

さて、次は地球儀を考えればよいわけです。
地球儀の半径は、先ほどと区別するために、大文字のＲ（ｍ）としておきましょう。

緯度がθのところのリングの半径ｒは、
ｒ＝Ｒcosθ
と書き換えることが出来ます。

この部分のリングの慣性モーメントは、
２πρｗ・ｒ^3＝２πρｗ・Ｒ^3・（cosθ）^3

さて、
リングの幅方向は、θ方向と平行であるから、θで上記を積分すれば、すなわち、無限個のすべてのリングを足し算して、中空球について求めたことになる。

その無限個の各リングの幅ｗは、
ｗ→Ｒ・ｄθ
と置き換えることが出来るので、

中空球の慣性モーメント
＝∫（－π/2→＋π/2）２πρ・Ｒ^3・（cosθ）^3・Ｒ・ｄθ
＝２πρ・Ｒ^4・∫（－π/2→＋π/2）（cosθ）^3・ｄθ
＝２πρ・Ｒ^4・∫（－π/2→＋π/2）（（cos３θ＋３cosθ）／４）・ｄθ
＝２πρ・Ｒ^4×４／３
＝２／３・πρ・Ｒ^4

以上で、無限に薄い中空球の慣性モーメントが求まった。
あとは、これを厚さ方向（Ｒ）で積分すれば、球の慣性モーメントになる。

Ｉ＝∫（０→Ｒ）２／３・πρ・Ｒ^4・ｄＲ
　＝８／１５・πρ・Ｒ^5
（球の慣性モーメントの公式のできあがり）

↑ここで、厚さ方向の積分を行なったので、ρは面密度でなく通常の密度に変更になっている。
（文字表記は、そのままにしました）

では、ここで、球の質量Ｍを用いて、ρを式から消去してみましょう。

球の体積は４／３・πＲ^3であるから、
密度ρは
ρ＝Ｍ／（４／３・πＲ^3）である。

これを
Ｉ＝８／１５・πρ・Ｒ^5　に代入して、

Ｉ＝８／１５・πρ・Ｒ^5
　＝８／１５・π・Ｒ^5×Ｍ÷（４／３・πＲ^3）
　＝２／５・ＭＲ^2

となり、＃２さん、および、＃５のリンクの公式と同じものが得られました。

あとは、計算だけですので、以降は＃５の考え方でどうぞ。

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございます。
学校では球の慣性モーメントの公式の導出過程の説明がなかったので助かりました。

回答No.5

sanori

＃３、＃４です。
何度もすみません。

私は無限に薄い中空球を想定して、それを積分することで、ご質問の答えになるということで考えていましたが、

よく考えてみたら、外径と内径のそれぞれで、球の体積を求め、その差の体積で４ｋｇを割り算すれば密度が求まり、
それによって、
大きい球の体積から大きい球の質量がわかり
小さい球の体積から小さい球の質量がわかり
さらに、
大きい球の質量と外形から大きい球の慣性モーメントがわかり
小さい球の質量と外形から小さい球の慣性モーメントがわかり
そして、
大きい球の慣性モーメントから小さい球の慣性モーメントを引き算すれば答え。

つまりは、＃２さんの説明に、プラス、球の慣性モーメントの公式の導出過程がわかればよいのですね。

球の慣性モーメントについては、下記のリンクをどうぞ。

http://heat.cse.oka-pu.ac.jp/ichi/lectures/Mechanics2/H14_Exam/Questions/Q_5/Q_5.html

なお、このリンクは、重積分が入った説明なので、もしも、もっとわかりやすい説明が見つかったら、また回答します。

参考URL：

http://heat.cse.oka-pu.ac.jp/ichi/lectures/Mechanics2/H14_Exam/Questions/Q_5/Q_5.html

回答No.4

sanori

＃３です。
すみません。
私は慣性モーメントの定義を間違えていました。
質量に、軸からの距離の１乗ではなく、２乗を掛け算しなくてはいけないのですね。

ですから、そもそも＃３の最初の式
２πｒρｗ・ｒ＝２πρｗ・ｒ^2
は誤りで、
２πｒρｗ・ｒ^2＝２πρｗ・ｒ^3
ですね。

あと、＃２さんの引用していた公式
I=(2/5)MR^2
は、先ほど、ネットの中を検索して、正しいことを確認したので、
この式をＲで微分した形に似た式が、この問題の答えになりそうな予感がします。

もうちょっとやってみます。
それらしい答えが出たら、また書きます。

とりあえず、＃３は取り消しということで・・・。

回答No.3

sanori

「公式」があるんですか。
知りませんでした。

面白い問題ですね。
私は計算に自信がないのですが、やってみました。

まず、半径ｒ（ｃｍ）、幅ｗ（ｃｍ）、線密度ρ（ｋｇ／ｃｍ）のリング（円）が、円の面と同じ（平行な）面内で、円の中心の周りに回転する慣性モーメントＡを求めましょう。
これは、簡単ですね。
２πｒρｗ・ｒ＝２πρｗ・ｒ^2

さて、次は地球儀を考えればよいわけです。
地球儀の半径は、先ほどと区別するために、大文字のＲ（ｍ）としておきましょう。

緯度がθのところのリングの半径ｒは、
ｒ＝Ｒcosθ

この部分の慣性モーメントは、
２πρｗ・ｒ^2＝２πρｗ・Ｒ^2・（cosθ）^2

さて、
リングの幅方向は、θ方向と平行であるから、θで上記を積分すれば、すなわち、無限個のすべてのリングを足し算して、中空球について求めたことになる。

その無限個の各リングの幅はＲ・ｄθ

中空球の慣性モーメント
＝∫（θ＝－π～＋π）２πρｗ・Ｒ^2・（cosθ）^2・Ｒ・ｄθ
＝２πρｗ・Ｒ^3・∫（θ＝－π～＋π）（cosθ）^2・ｄθ

ここで、
∫（cosθ）^2・ｄθ
＝∫（cos２θ＋１）／２・ｄθ
＝sin２θ／４＋θ／２＋積分定数
であるから、
中空球の慣性モーメント
＝２πρｗ・Ｒ^3・［sin２π＋π／２－sin（－２π）－（－π／２）］
＝２πρｗ・Ｒ^3・π
＝２π^2・ρｗ・Ｒ^3

以上、計算に全然自信がないのですが、
２π^2・ρｗ・Ｒ^3
みたいな感じの公式になってませんか？

私は答え合わせができないもので（笑）
・・・ただし、少なくとも導出過程の途中まではあっていると思いますけど・・・

回答No.2

abyssinian

球の質量はρを密度として
M=(4/3)ρπR^3
課題の数値からρを逆算して中空でない球のMを計算。

球の慣性モーメント
I=(2/5)MR^2
中空球のI=中空でない球のＩ－中空と同じ球のＩ

答が欲しいならはっきりそう書いた方がいい。

回答No.1

SteveStrawb

まず「慣性モーメント」ってどんな意味なのか、物理学的にどんな意味をもっているものなのか理解してください。それが理解できていれば、何らむずかしい事ではありません。