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ベクトル

△ABCにおいて、AB=2、BC=4、CA=3である。AB↑=a↑、AC↑=b↑とおく (1)∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとするとき、AD↑をa↑、b↑で表しなさい (2)△ABCの内接円の中心をOとするとき、A0↑をa↑、b↑で表しなさい (1)はわかったのですが、(2)がわかりません。どなたか教えてください

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|AB|=2,|BC|=4,|CA|=3 AB=a,AC=b BC=b-a だから (a,b)をaとbの内積とすると |BC|^2 =(b-a,b-a) =|b|^2+|a|^2-2(a,b) =9+4-2(a,b)=16 ↓ 2(a,b)=-3 (a,b)=-3/2 (1) ∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとすると DはBC上の点だから BD=tBC=t(b-a) 0<t<1 となるtがあって AD=AB+BD=a+t(b-a) となる (AD,a)=|AD||a|cos(∠A/2) (AD,b)=|AD||b|cos(∠A/2) だから |b|(AD,a)=|a|(AD,b) これに|b|=3,AD=a+t(b-a),|a|=2を代入すると 3{a+t(b-a),a}=2{a+t(b-a),b} 3[(a,a)+t{(b,a)-(a,a)}]=2[(a,b)+t{(b,b)-(a,b)}] ↓(a,a)=4,(a,b)=-3/2,(b,b)=9を代入すると 3[4+t{(-3/2)-4}]=2[(-3/2)+t{9-(-3/2)}] 3{8+t(-3-8)}=42t-6 8-11t=14t-2 10=25t 2=5t t=2/5 AD=a+2(b-a)/5 ∴ AD=(3a+2b)/5 (2) △ABCの内接円の中心をO ∠Bの2等分線と辺ACの交点をE とすると EはAC上の点だから AE=tAC=tb 0<t<1 となるtがあって BE=AE-AB=tb-a となる (BE,-a)=|BE||a|cos(∠B/2) (BE,BC)=|BC||BE|cos(∠B/2) だから |BC|(BE,-a)=|a|(BE,BC) これにBE=tb-a,BC=b-aを代入すると |BC|(-a+tb,-a)=|a|(-a+tb,b-a) |BC|{(a,a)-t(b,a)}=|a|[-(a,b)+(a,a)+t{(b,b)-(a,b)}] ↓|BC|=4,|a|=2,(a,a)=4,(a,b)=-3/2,(b,b)=9だから 4{4+(3t/2)}=2[(3/2)+4+t{9+(3/2)}] 16+6t=3+8+t(18+3) 16+6t=11+21t 5=15t 1=3t ∴ t=1/3 だから BE=(b/3)-a となる OはBE上の点だから BO=yBE=y{(b/3)-a} 0<y<1 となるyがあるから AO=AB+BO=a+y{(b/3)-a}=(1-y)a+yb/3 となる OはAD上の点だから AO=xAD=x(3a+2b)/5 0<x<1 となるxがある AO=(1-y)a+yb/3=x(3a+2b)/5 {1-y-(3x/5)}a+{(y/3)-(2x/5)}b=0 a,bは1次独立だから だから 1-y-(3x/5)=0 (y/3)-(2x/5)=0 5y-6x=0 5-5y-3x=0 5-9x=0 x=5/9 AO=(5/9)(3a+2b)/5 AO=(3a+2b)/9 ∴ AO↑=(1/3)a↑+(2/9)b↑

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質問者からのお礼

とても丁寧なご回答ありがとうございます。わかりやすかったです。感謝いたします

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