ベクトル

質問

△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝2、ＢＣ＝4、ＣＡ＝3である。AB↑＝a↑、AC↑＝b↑とおく

(1)∠Ａの２等分線と辺ＢＣの交点をＤとするとき、AD↑をa↑、b↑で表しなさい

(2)△ＡＢＣの内接円の中心をOとするとき、A0↑をa↑、b↑で表しなさい

(1)はわかったのですが、(2)がわかりません。どなたか教えてください

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

|AB|=2,|BC|=4,|CA|=3
AB=a,AC=b

BC=b-a
だから
(a,b)をaとbの内積とすると
|BC|^2
=(b-a,b-a)
=|b|^2+|a|^2-2(a,b)
=9+4-2(a,b)=16
↓
2(a,b)=-3
(a,b)=-3/2

(1)
∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとすると
DはBC上の点だから
BD=tBC=t(b-a)
0<t<1
となるtがあって
AD=AB+BD=a+t(b-a)
となる
(AD,a)=|AD||a|cos(∠A/2)
(AD,b)=|AD||b|cos(∠A/2)
だから
|b|(AD,a)=|a|(AD,b)
これに|b|=3,AD=a+t(b-a),|a|=2を代入すると
3{a+t(b-a),a}=2{a+t(b-a),b}
3[(a,a)+t{(b,a)-(a,a)}]=2[(a,b)+t{(b,b)-(a,b)}]
↓(a,a)=4,(a,b)=-3/2,(b,b)=9を代入すると
3[4+t{(-3/2)-4}]=2[(-3/2)+t{9-(-3/2)}]
3{8+t(-3-8)}=42t-6
8-11t=14t-2
10=25t
2=5t
t=2/5
AD=a+2(b-a)/5
∴
AD=(3a+2b)/5

(2)
△ABCの内接円の中心をO
∠Bの2等分線と辺ACの交点をE
とすると
EはAC上の点だから
AE=tAC=tb
0<t<1
となるtがあって
BE=AE-AB=tb-a
となる
(BE,-a)=|BE||a|cos(∠B/2)
(BE,BC)=|BC||BE|cos(∠B/2)
だから
|BC|(BE,-a)=|a|(BE,BC)
これにBE=tb-a,BC=b-aを代入すると
|BC|(-a+tb,-a)=|a|(-a+tb,b-a)
|BC|{(a,a)-t(b,a)}=|a|[-(a,b)+(a,a)+t{(b,b)-(a,b)}]
↓|BC|=4,|a|=2,(a,a)=4,(a,b)=-3/2,(b,b)=9だから
4{4+(3t/2)}=2[(3/2)+4+t{9+(3/2)}]
16+6t=3+8+t(18+3)
16+6t=11+21t
5=15t
1=3t
∴
t=1/3
だから
BE=(b/3)-a
となる
OはBE上の点だから
BO=yBE=y{(b/3)-a}
0<y<1
となるyがあるから
AO=AB+BO=a+y{(b/3)-a}=(1-y)a+yb/3
となる

OはAD上の点だから
AO=xAD=x(3a+2b)/5
0<x<1
となるxがある

AO=(1-y)a+yb/3=x(3a+2b)/5
{1-y-(3x/5)}a+{(y/3)-(2x/5)}b=0
a,bは1次独立だから
だから
1-y-(3x/5)=0
(y/3)-(2x/5)=0
5y-6x=0
5-5y-3x=0
5-9x=0
x=5/9

AO=(5/9)(3a+2b)/5

AO=(3a+2b)/9
∴
AO↑=(1/3)a↑+(2/9)b↑

お礼

とても丁寧なご回答ありがとうございます。わかりやすかったです。感謝いたします