三角形 AB＝5, AC＝3, ∠A＝120

質問

円Oに内接する△ABCにおいて
AB＝5, AC＝3, ∠A＝120°
∠Aの二等分線がBC,円Oとの交点を
それぞれD,Eとする。
ただしEはAと重ならない。

(１)BCの長さは ７

(２)DCの長さは 21/8

(３)ADの長さは 9/8 と15/8

(４)DEの長さを求めよ。

(１)(２)(３)は合っていますか？
間違っている場合は、考え方も含めて
わかりやすく教えて頂けますか？

(４)を分かりやすく教えて頂けますか？

宜しくお願いします。

回答No.2

shuu_01 · ベストアンサー

eeettt さん、もう ９割がた解けてるので、解答必要ないと思うけど、

（１）余弦定理を △ABC にあてはめ、

BC^2 ＝ 5^2 ＋ 3^2 － 2・5・3 cos 120度
　　＝ 25 ＋ 9 － 30（－ 1/2）＝ 49

BC ＝ √49 ＝ 7

（２を解く前の準備）

円周角 BAC は 120度なので、中心核は 240度

次に円周角 BEC を考えると、上記より中心核は 360 － 240 ＝ 120度
なので、円周角 BEC は 60度

角 BAE と 角 CAE は 角 BAC を二等分したので、120 / 2 ＝ 60度

角 BAE と 角 BCE は円周角の定理から 60度

したがって、△BCE は正三角形となり、

BC ＝ BE ＝ CE ＝ 7

CD ＝ 7 　とおくと、BD ＝ 7 － x となる

△ACE と △CDE は 角 AEC が共通、角 CAE、角DCE が 60度で相似
AC：CE＝CD：DE
３：７＝x：DE
DE ＝ （7/3）ｘ

△ABD と △CDE は角ADE と 角CDE は対角、角BAD と角DCE は 60度
なので相似
AB：AD ＝ CE：CD
５：AD ＝ ７：x
x ＝ （5/7）x

△ADC と△ BCE も同様に相似なので
AC：AD ＝ BE：BD
３：（5/7）x ＝ ７：（7 － x）
これを解いて、x ＝ 21/8　←　（２）DC の長さ

したがって、
DE ＝ （7/3）x ＝ 49/8　←　（４）
AD ＝ （5/7）x ＝ 15/8　←　（３）

【解答】
（１）　7
（２）　21/8
（３）　15/8
（４）　49/8

回答No.3

yyssaa

(１)BCの長さは ７
＞正しい。
(２)DCの長さは 21/8
＞正しい。
(３)ADの長さは 9/8 と15/8
＞間違い。正しくは15/8。
(余弦定理による計算からは9/8と15/8となるが、
この問題でAD=9/8ではBC=7にはならない)
(４)DEの長さを求めよ。
＞DCとADが得られたら、「方べきの定理」により
DE=(BD*DC)/ADから計算できる。
BD=7-21/8、DC=21/8、AD=15/8だから
DE=(21/8)*(7-21/8)/(15/8)=(21*35)/(8*15)=49/8。

回答No.1

shuu_01

＞　(１)BCの長さは ７
＞　(２)DCの長さは 21/8

正しいです

＞　(３)ADの長さは 9/8 と15/8

AD の長さは 15/8 です

＞　(４)DEの長さを求めよ。

49/8 だと思います

＞　(４)を分かりやすく教えて頂けますか？

もうほとんど解答に近づいてるので、
自分で解決した方が気持ちよいよ