y=(1/2)x^2の曲率を求める問題を教えて下さ

質問

これの曲率をさまざまな方法で求めなさいという問題です。
求め方はいろいろあるのでしょうか？

簡単な公式
曲率=1/曲率半径
の通りに求める方法しか分からなかったのですが・・・。
分かる方、教えて下さい

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

たとえば、参考 URL / 曲率と曲率半径 / 1 陽函数の場合 / (12) 式
　　　　　　　↓
　κ= (d2y/dx2)*{ 1 + (dy/dx)^2 }^(-3/2)

なる公式を利用すれば？
　y = x^2, dy/dx = 2x, d2y/dx2 = 2
を入れて、
　κ= 2*{ 1 + (2x)^2 }^(-3/2)
… でチョン！ (拍子木) 。

素手でやると？
y = x^2 上の近接 2 点に立てた法線の交点を探り、2 点間距離 → 0 に。
近接 2 点 : P [a　a^2] と Q [a+d　(a+d)^2 ]
P を通る法線
　y = -(x/2a) + {a^2 + (1/2) }
Q を通る法線
　y = -{x/2(a+d) } + { (a+d)^2 + (1/2) }
交点 O を出して d → 0 とすれば、
　O [xo　yo] = [-4a^3　3a^2 + (1/2)]

この O と P [a　a^2] の距離が「曲率半径 R」
　R = √{ (a + 4a^3)^2 + {2a^2 + (1/2) }^2 }
　　= (1/2)* √(64a^6 + 48a~4 + 12a^2 + 1)
　　= (1/2)* √(4a^2 + 1)^3
　　　　↓
　κ= 1/R = 2 / √(1 + (2a)^2)^3
… という流れ。

参考URL：

http://www.epii.jp/articles/note/math/curvature

お礼

有難うございます。助かりました

回答No.3

178-tall

手は、いろいろあるもんです。
　　↓
　参照 URL

参考URL：

http://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/3.html

お礼

有難うございます

回答No.1

bran111

>公式
曲率=1/曲率半径
は正しい。しかしこれは曲率半径が求められることを前提している。質問者は曲率半径の求め方がわかるのですか。

曲線y=f(x)の点(x,f(x))における曲率κの公式は一つしかありません。後は図式解法があるかもしれませんがかったるいので止めましょう。

κ＝f''(x)/[1+f'(x)^2]^(3/2)

f(x)=x^2/2よりf'(x)=x, f''(x)=1

κ＝1/(1+x^2)^(3/2)

ちなみに曲率半径ρは曲率の逆数で

ρ=1/κ=(1+x^2)^(3/2)

です。

お礼

助かりました！