- ベストアンサー
y=(1/2)x^2の曲率を求める問題を教えて下さ
178-tallの回答
たとえば、参考 URL / 曲率と曲率半径 / 1 陽函数の場合 / (12) 式 ↓ κ= (d2y/dx2)*{ 1 + (dy/dx)^2 }^(-3/2) なる公式を利用すれば? y = x^2, dy/dx = 2x, d2y/dx2 = 2 を入れて、 κ= 2*{ 1 + (2x)^2 }^(-3/2) … でチョン! (拍子木) 。 素手でやると? y = x^2 上の近接 2 点に立てた法線の交点を探り、2 点間距離 → 0 に。 近接 2 点 : P [a a^2] と Q [a+d (a+d)^2 ] P を通る法線 y = -(x/2a) + {a^2 + (1/2) } Q を通る法線 y = -{x/2(a+d) } + { (a+d)^2 + (1/2) } 交点 O を出して d → 0 とすれば、 O [xo yo] = [-4a^3 3a^2 + (1/2)] この O と P [a a^2] の距離が「曲率半径 R」 R = √{ (a + 4a^3)^2 + {2a^2 + (1/2) }^2 } = (1/2)* √(64a^6 + 48a~4 + 12a^2 + 1) = (1/2)* √(4a^2 + 1)^3 ↓ κ= 1/R = 2 / √(1 + (2a)^2)^3 … という流れ。
関連するQ&A
- 曲率半径について教えて下さい。
曲率半径は、ある曲線の円に近似するもので、以下のような式で表されるそうなのですが、 180*ΔL/π*Δθ これってつまり、まっすぐな線があって、途中できれいに1°だけ曲がってものも、379°で曲がっているものも、理想的な曲がり方をしていれば、曲率半径はゼロ→すごい鋭いカーブになるということなのでしょうか?
- ベストアンサー
- 科学
- 曲線の曲率の計算について
曲線の曲率の計算における過程で、(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)という計算なのですが、 結果はx/(x^2+1)^3/2となるらしいのですが、どう計算してこうなったのかわかりません。 ちなみにこれはf(x)=logxの曲率を求める過程ででてきたものです。 また、現状は曲率を求める公式に当てはめて値を求めているのですが、 曲率とはいったいなんなのかさっぱりわかりません。 インターネットで調べたところ曲率とは、ようするに物理などででてくる加速度みたいなもので 曲率半径は、ようするに円の半径のようですが、 なぜ加速度や半径と言わないで、わざわざ別の言葉で曲率という言葉を使うのでしょうか? それから参考書をみてみると曲率の証明する過程で、 曲線r(t)=x(t)i+y(t)jの単位接線ベクトルはT=dr/dsで与えられる。 ここでs=∫√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dtは曲線の長さであると書かれているのですが、 なんのことを言っているのかわっぱりわかりません。 イメージが出来ない感じです。 r(t)=x(t)i+y(t)jのところは曲線上の位置を表しているのかなとなんとなく理解できますが、 単位接線ベクトルや曲線の長さであるというところがわかりません。 どなたか教えてください。 わかりやすい回答お待ちしております。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二次関数からの曲率の求め方
二次関数より近似的にその曲線の半径を求めたいと思っております。 二次関数の式は、「y=ax^2+bx(+c)」のような形です。(+cは関係ないと思いますが…) このような二次関数の式から曲率を求める事が可能であれば、曲率からその円の半径を求める事が出来ると推測しております。 曲率自体に詳しい見識がありませんので、上記の考えも間違えているようでしたら指摘をして頂きたいと思っております。 ご教授の程よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 幾何学の、曲率の問題を教えて下さい
問題: 0<b<aとして、母線ガンマγ(u)=(a+bcosu,bsinu)の回転面であるトーラスT p(u,v)=((a+bcosu)cosv,(a+bcosu)sinv,bsinu) (0≦u,≦2π、0≦v≦2π) を考える。 (1)第一基本量E=pu・pu F=pu・pv G=pv・pvを求めなさい puはpをuで微分したもの、vも。 (2)面積要素はdA=√(EGーF^2) dudvで与えられる。面積を求めなさい (3)回転面なので、主方向は母線方向と回転方向である事が知られている。つまり、主曲率の絶対値はその点における母線の曲率と法線が回転軸と交わる点までの距離を曲率半径とする平面曲線の曲率で与えられる。これらを求め、曲面の形から各点のガウス曲率を求めなさい (4)ガウス曲率と面積要素の積の全積分∫T KdAを求めなさい。 (1)と(2)は分かったのですが、 E=b^2,F=0,G=(a+bcosu)^2 面積は4abπ^2 (3)(4)がわからず困っています。分かる方、どうかお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
有難うございます。助かりました