電気回路の虚数

質問

高校時代、電気回路に出てきた抵抗、コイル、コンデンサー。三角関数で計算してましたが、オイラーの公式を使えば、簡単なのは理解できます。
ここに出てくる虚数の部分は、どんな役割があるのでしょうか？ 計算の途中で、虚数を使い、i^2=-1だけ戴いて、全く問題ないのでしょうか？

回答No.8

178-tall

>計算の途中で、虚数を使い、i^2=-1だけ戴いて、全く問題ないのでしょうか？
　　　↑
これの「題意？」は、いまだに不可解。

たとえば、下記の「cos, sin 加法定理の導出」

　e^{i(a+b) } = cos(a+b) + i*sin(a+b)　　… (1)
　　＝
　{e^(ia) } * {e^(ia) } = {cos(a) + i*sin(a) } * {cos(b) + i*sin(b) }
　= {cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) } + i*{sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) }
　　… (2)
　にて、(1), (2) の実部 (虚部) 同士を等置して、
　cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
　sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
　を得る。

… にて引っかかる個所はどのあたりですか？

回答No.7

178-tall

< ANo.6 への蛇足。

>e^(jθ) で勘定したあと実部 (虚部) をとる…
　　↑
これも、複素数が互いに一次独立な「実数単位 1 」と「虚数単位 i 」の一次結合だから正当化されるのでしょう。

回答No.6

178-tall

>虚数の部分は、どんな役割…

虚数単位 i は、e^(jθ) を cos(x) と sin(x) との一次結合で表したときの「結合係数」。

わざわざ「ロンスキー行列式」など振りかざさなくとも、cos(x) と sin(x) とは比例関係にない、つまり「一次独立」だ、とわかりますけど…。

「電気回路」などにて cosθ (sinθ) の係数を勘定せねばならぬ場合、e^(jθ) で勘定したあと実部 (虚部) をとるほうが、cosθ (sinθ) のまま強行するよりも楽らしいですからネ。

回答No.5

178-tall

>途中は、虚数を計算して、最終的に虚数部分を切り捨てているのが、良いのでしょうか?
　　↑
このコメントで、やっと貴方の「疑問点」が見えかけてきた模様…。

電気回路の勘定を「オイラーの公式」の左辺 R*e^(jθ) で遂行しておき、結果は右辺 R*cosθ + jR*sinθ の実部あるいは虚部だけを取り出すことの正当性は？ … というごもっともな疑問。

数学的には、
　R*e^(jθ) = R*cosθ + jR*sinθ
の右辺が「一意的」なのか？ … という問いになる。
つまり、右辺の実部と虚部とは「一次独立」なのか？… ということ。

回答は「YES」なのですが、当方に、その経緯をここに連ねる能力はありません。
… ので、参考 URL (オイラーの公式 eix=cos(x)+i sin(x) とロンスキー行列) などでご覧くだされ。

参考URL：

http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/euler/euler5.htm

回答No.4

DCI4

★回答　　全体仕組みの把握すれば問題はない

電気回路にかぎらず
微分方程式で記述される　物理現象はみな同じ
交流電気回路で　勉強が終了すると永遠にわからん

時間関数（微分方程式など）は
フーリエ変換　ラプラス変換　など積分変換にて記述できる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%A4%89%E6%8F%9B

これら数学モデルを使い　物理現象を把握するのは制御工学などの考えに出てくる
モデル化などという
すなわち複素伝達関数により　周波数と言う概念（正弦波に信号が分解出来る前提）
にもとずき　運動方程式を解法　計算しているだけ

ざっくり言えば
時間軸では　微分方程式　ｈ(t)
周波数軸では　伝達関数　H(S)　ｓ＝ｊω+σ　　
　σ＝0　が　交流回路となる
　関数で物理現象を数学モデルで表して
　計算を便利にしてるだけ

歴史的発見順にみれば
交流回路→伝達関数　信号理論など積分変換の概念
のじゅんぐり

あまくだりで行けば
伝達関数→交流回路　複素表記　級数
Z変換　ラプラス変換→フーリエ変換→フーリエ級数

オイラーの公式で　正弦波（複素数）が　指数関数（複素数）で表現可能となったから　表記が楽になっただけ
数学モデルを当てはめて　物理現象が把握しやすくなっただけ
すべて伝達関数で記述可能

制御工学は物理、数学いずれと関連ありか？
http://okwave.jp/qa/q8402635.html

●近頃は授業も無料である
以下など
http://www.appi.keio.ac.jp/?page_id=437
制御工学(2013)
計測信号処理(2012)

回答No.3

mdmp2

何十年も当然のように使ってきましたが改めて聞かれるとうまく説明することができないことが分かりましたので、私も調べて見ました。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1348791153
これですね。

補足

途中は、虚数を計算して、最終的に虚数部分を切り捨てているのが、良いのでしょうか?

回答No.2

tance

電気回路の計算にはサイン・コサインの微分や積分がたくさん出てきます。微分方程式や積分方程式を解くのは大変なのですが、虚数の性質を使うと微分・積分が　かけ算・割り算でできるようになるのです。どうしてそうなるのかは説明しきれませんが、なるほどと思える話をしましょう。

sinを微分するとcosになりますね。cosを微分すると-sinになりますね。一方、
実数xにi を掛けるとxiになりますね。これにもう一度iを掛けると-xになりますね。

これらの事実から、

iとはsinとcosの関係のように位相を90度変えることを意味します。
微分はiを掛けることで、２乗するとマイナスになるところも三角関数の２度微分と同じです。

一例を挙げただけで、証明でも何でもありませんが、雰囲気は解りやすいのではないでしょうか。

回答No.1

178-tall

「オイラーの公式」の役割は … 一本の算式で振幅と位相の「2 次元情報」を簡潔に表現することにある … のでは？