- ベストアンサー
純虚数の指数関数に関して
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
オイラーの公式はexp(iθ)=cosθ+isinθ 絶対値にすれば|exp(iθ)|=√((cosθ)^2+(sinθ)^2)=1 これはθがどんな実数でも成り立ちます。
その他の回答 (1)
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
オイラーの公式 exp(ix)=cos(x)+i sin(x) を利用すると exp(-iπf/4)=cos(-πf/4)+i sin(-πf/4) -πf/4=θとおくと =cosθ+i sinθ |exp(-iπf/4)|=√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}=√1=1
お礼
回答ありがとうございます！とてもわかりやすいのですぐに理解できました！ 複素数が苦手なので、変にいろいろ考えてしまってましたがようやく謎が解けました。 本当にありがとうございました！
関連するQ&A
- 【オイラーの公式のｅとｉについて】 虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい
【オイラーの公式のｅとｉについて】 虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい。 お願いします。 数年前に「オイラーの贈り物」（だったかな？）という本に出会いまして、 exp（ｅ，ｉπ）＝－１ ・・・（ア） の式の意味を理解したくなりました。 exp（ｅ，ｉ・θ）＝ｃｏｓ（θ）＋ｉ・sin（θ） ・・・（イ） （イ）の式で、θ＝０ の時に（ア）が導かれるのはわかりました。 しかし、指数関数の指数部が虚数になっている、ということが感覚的になじめません。というか、理解できません。 公式を導く過程を読んでも、「実数の虚数乗」には違和感がぬぐえません。アレルギーかもしれません（笑） ４年制大学を卒業（しかも理系）した者として恥ずかしいのですが、いい年したオヤジの錆付いた脳みそにも浸透する、 易しくて、いや優しくて、キラリと光る解説は望めませんでしょうか。 まことに厚かましいお願いですが、皆様の知恵をお貸しください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の和に関する証明
現在フーリエ解析関係の本を読んでいるのですが、 証明の途中で Σ[k=1~n]exp(-i2πk/n) = 0 iは虚数単位 という式が出てきました。 これを示したいと思います。 オイラーの公式を使って Σ[k=1~n]exp(-i2πk/n) ＝ Σ[k=1~n]cos(2πk/n) - iΣ[k=1~n]sin(2πk/n) 第二項が0であるということは容易に示せるのですが、 第一項が0であるということがどうも示せなくて困っています。 お力を貸していただけたらと思います。よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 虚数iが分かりません
虚数iの物理的な解釈法を教えてください。 補足 虚数iについて ・二乗すると-1になる ・オイラーの公式のi などの数式のイメージならできるのですが、物理的な解釈がイマイチできません。
- 締切済み
- 物理学
- 微分におけるsinと cosの関係と虚数単位iをかけること
微分するときsinとocosがプラスマイナスを変えながら交互に出てきますがこのことと虚数単位iを掛けていくと－１と－iと１が出てくることと似ていると思いますがこれはオイラーの公式と関係があることでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガウス積分を含む関数の微分について
f(u)=∫exp(-ax^2＋iux)dx のuに関する微分df(u)/duを求めるという問題です。iは虚数単位で、a>0です。積分範囲は-∞～∞です。 ガウス積分の公式からexpの最初の項が√π/aになると思ったのですが、オイラーの公式のような∫exp(iux)dxの部分が微分や積分ができません。どうやら答えはf(u)*(-u/2a)になるようなのですが。。 答えがf(u)*(-u/2a)となることを示せれば、１階の微分方程式が成り立ち、解析的にf(u)が決定できそうなんです。すみませんが回答の程よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分値を複素関数を使って求める
お世話になります。 【問題】 実変数θに対する下記の積分値を、複素関数を使って求めよ。 ∫[ 0 → 2π ]1 / ( 5 - 3cosθ )^2 dθ 【自分の解答】 オイラーの公式より cosθ = ( exp( iθ) + exp( -iθ ) ) / 2 これを与式に代入して ∫[ 0 → 2π ]1 / ( 5 - 3 ( exp( iθ) + exp( -iθ ) ) / 2 )^2 dθ = (*) ここで z = exp( iθ) + exp( -iθ ) とおくと dθ/ dz = 1 / (dz / dθ) = 1 / iz ∴dθ= ( 1 / iz )dz また θ:0 → 2π z :2 → 2 よって (*) = ∫[2 → 2]1 / ( 5 - 3z / 2 )^2 ( 1 / iz )dz (ここから不明) 【質問】 上記のやり方では積分範囲が2 → 2となり被積分関数がどんなものであろうとその積分値は0になってしまいます。 私の解答は間違っていると思うのですが、何が間違っているのか、どうすれば正しくなるのかがわかりません。 どなたかご教授よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 電気回路における複素指数関数表示と三角関数表示
電気回路の式を計算しています。 複素指数関数で計算したものと、 三角関数で計算したものが一致しません。 どこが問題かが分かりません。 以下に示します。 ●三角関数での計算：仮定 I(t)=I0cos(ωt) R(t)=R0{1+αΔT(ω)cos(ωt)} (I0,R0の0は添字です) ●三角関数での計算 V1(t)=I(t)R(t) =I0R0cos(ωt)+(1/2)I0R0αΔT(ω)cos(ωt) +(1/2)I0R0αΔT(ω)cos(3ωt) ●複素指数関数での計算：仮定 I(t)=I0exp(iωt) R(t)=R0{1+αΔT(ω)exp(i2ωt)} ●複素指数関数での計算 V2(t)=I(t)R(t) =I0exp(iωt)R0{1+αΔT(ω)exp(i2ωt)} =I0R0exp(iωt)+I0R0αΔT(ω)exp(i3ωt) Re(V2(t))=I0R0cos(ωt)+I0R0αΔT(ω)cos(3ωt) （Reはカッコでくくった所の実部をとるという記号です） V1とRe(V2(t))が一致しません。 なぜなのか、分かりません。 どなたか分かる方いらっしゃいましたら、 お教えいただけるとうれしいです。
- ベストアンサー
- 物理学
- 三角関数と対数の関連について
歴史的にはいわゆる対数が発明される前に三角関数の公式を使って掛け算を足し算として計算することが行なわれていたそうですが、オイラーの公式を眺めていると左辺の指数部分はｉとｘが掛け算ですが右辺が実数部と虚数部に分かれていて何となくこの公式が対数のことを示しているような感じがするのですが、このような印象には何か数学的な根拠があるものでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
とてもわかりやすい回答ありがとうございます！ オイラーの公式から、複素数の大きさを求める式につなげれば良かったのですね。 おかげで解決いたしました、本当にありがとうございました！