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三角関数の和に関する証明
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質問者が選んだベストアンサー
オイラーの公式もいいですが、シンプルに等比級数の式とみて変形すれば1発ですよ。 Σ[k=1~n]exp(-i2πk/n) =exp(-i2π/n)×{1-exp(-i2π)}/{1-exp(-i2π/n)} =0 （∵ exp(-i2π)=1 ）
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- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
ANo.1の続き：「単位円周を2π/nだけ回転しても点の配置は変化しないのだから重心は0」ってことを式で書くなら exp(-i2π)=exp(0) より Σ{k=0～n-1}exp(-i2πk/n)=Σ{k=1～n}exp(-i2πk/n) を使って exp(i2π/n)Σ{k=1～n}exp(-i2πk/n) = Σ{k=1～n}exp(-i2πk/n) で、 n＞1 → exp(i2π/n)≠1 だから n＞1 → Σ{n=1～n}exp(-i2πk/n)=0
お礼
素早い解答ありがとうございます。 確かにその通りですね！このような示し方があるとは驚きました。 本当にありがとうございました！
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
sin を二つづつ組にして、和積公式を使うこともできますが、 最初の式は等比数列の和ですから、公式一発で処理するのが簡単です。 等比数列の和を知らなければ、高校の教科書か参考書を見てください。
お礼
無事解決しました。 解答ありがとうございます。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
x[k]+iy[k] = exp(-i2πk/n) とおくと，点列(x[k],y[k]) (k=1～n) は単位円の円周をn等分するn個の点ですから，それらの重心が(0, 0)なのは自明では？
お礼
解答ありがとうございます。 確かにその通りなのですが、図形的に片づけるといまいち説得力に欠けるかなと思いまして… ありがとうございました。
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お礼
exp(-i2π)=1 この一行が全て解決してくれました。 等比数列の和であるというのは早い段階でわかっていたのですが、何故かここに気づかなかったです。 ありがとうございました。