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三角関数を含む方程式の解につぃいて
たびたび申し訳ありません。 V=16×θ×L-8×L×sin2θ のθの解を求めたいのですが、どなたか詳しい方、教えていただけないでようか？ただし、V,Lは定数、θは変数です。 以上、よろしくお願いします。
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- staratras
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- 178-tall
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>V=16×θ×L-8×L×sin2θ のθの解を求めたいのですが … V = 16θL - 8Lsin^2(θ) だとしましょうか…。 やはり、「θを求める式を誘導」できそうもない。 ↓ U = V/(8L) = 2θ - sin^2(θ) sin^2(θ) = 2θ - U …(1) と整形。 QNo.8998325 に例示した「不動点収束法」は、サボりすぎ…。 ならば、解の範囲を推量してみまショ。 式 (1) 左辺は 0≦sin^2(θ)≦1 なる周期関数。 ならば、右辺のほうは、 0≦ 2θ-U ≦1 U/2 ≦ θ ≦ (U+1)/2 の範囲内に絞れる。 … ならば、たとえば θ= U/2 を初期近似解とすれば、Newton 法で近似解に到達できるはず。
お礼
早速のご解答ありがとうございます。またの際もよろしくお願いします。
- aokii
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近似計算で求めるしかないようです。
補足
お手数おかけします。例えばどうやって近似計算すればよいのでしょうか。
- sunflower-san
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ご質問の方程式の場合、θの簡単な表示はないと思います。 求めるというのが(実数解の)数値計算をするという意味ならば、非常に愚直な方法ですが以下のようにやるのはどうでしょうか？ まず、a = (V/8L), φ = 2θとおけば、 a = φ -sinφ で φをaの式で表す問題になります。 右辺を原点の近傍でTaylor展開すれば a = φ^3/3! - φ^5/5! + φ^7/7! - φ^9/9! +・・・ ですから、b = (6a)^(1/3) とおけば b = φ - φ^3/60 + φ^5/8400 - φ^9/349272000 +・・・ べき級数を帰納的に逆に解けば、 φ = b + b^3/60 + b^5/1400 + b^7/25200 +43 b^9/17248000 + ・・・ のようになります。(ちなみにこのべき級数は全ての複素数bに対して収束します) このような級数は特に小さなbに対しては速く収束します。 ただし、b = (3V/4L)^1/3, φ = 2θ としています。
お礼
早速のご解答ありがとうございます。テイラー展開試してみます。また、よろしくお願いします。
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