三角関数を含む方程式の解につぃいて

質問

たびたび申し訳ありません。
V=16×θ×L-8×L×sin2θ　のθの解を求めたいのですが、どなたか詳しい方、教えていただけないでようか？ただし、V,Lは定数、θは変数です。
以上、よろしくお願いします。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

V=16θL-8Lsin2θ　L≠0 と考えて変形すると2θ-sin2θ=V/8L …(1)

この方程式は見かけは簡単ですが、簡単にθ= なんとか　という厳密な解は得られないので、近似的な数値計算をしてみます。最も簡単なのは、エクセルなどの表計算ソフトのゴールシーク機能を使うことでしょう。仮にV/8L=4として解いてみます。

回答者はEXCEL2013を使用していますが、例えばこのようにします。まずB1セルに「=2*A1-sin(2*A1)」と入力します。データ→What-If分析→ゴールシーク　とたどり、数式入力セルにB1、目標値に4、変化させるセルにA1とそれぞれ入力して、OKをクリックすると、数値が自動的に変化して近似解を求めてくれます。試してみると、目標値4に対して、現在値3.999752485 で止まり、A1セル（θ）は1.78755091 となりました。

次に2θ=x　としてx-sinx-4=0 を　ニュートン法で解いてみます。

f(x)=x-sinx-4　…(2) とするとf(x)は連続で　f'(x)=1-cos(x)≧0 です。
f(3)=-1-sin3<0 f(4)=-sin(4)>0 (∵　π/2<3,4<3π/2 だから　sin(3)<0 sin(4)<0)
したがって、3<x<4　だから　x0=3 (初期値）とします。

f(3)=-1-sin3,f'(3)=1-cos3 より点(3,f(3))におけるy=f(x) の接線の式は
y-(-1-sin3)=(1-cos3)(x-3)
y=0 を代入して解くと、x=3+(sin3+1)/(1-cos3)≒3.573429…これをx1　とします。

同様に　点（x1,f(x1))における　y=f(x)の接線の式は
y+0.0080317=(1-cos3.573429)(x-3.573429)
y=0を代入して解くと　x≒3.578499　

これをx2 として　同様に接線のy=0 となるx3の値を求めると
x3≒3.57764…　したがって　θ≒1.78882…

EXCELと微妙に異なりますが、結果としてはこのニュートン法の方が少なくともx3の表示した値の桁までは正確でした。（x≒3.577640012 くらいです）

ちなみにEXCELで=A1-sin(A1)-4 を0にゴールシーク法で近づける方法も試みましたが、
x=3.577589009　θ=1.788794504　と多少改善されたにとどまりました。

お礼

早速のご解答ありがとうございます。わかりやすい内容で助かりました。また、よろしくお願いします。

回答No.5

staratras

No.4です。f(3)=-1-sin(3)<0 f(4)=-sin(4)>0 である理由を訂正します。

誤：(∵　π/2<3,4<3π/2 だから　sin(3)<0 sin(4)<0)

正：(∵　3<π<4<2π だから　sin(3)>0, sin(4)<0)

回答No.3

178-tall

>V=16×θ×L-8×L×sin2θ　のθの解を求めたいのですが …

V = 16θL - 8Lsin^2(θ) だとしましょうか…。
やはり、「θを求める式を誘導」できそうもない。
　　↓
　U = V/(8L) = 2θ - sin^2(θ)
　sin^2(θ) = 2θ - U　　…(1)
と整形。

QNo.8998325 に例示した「不動点収束法」は、サボりすぎ…。
ならば、解の範囲を推量してみまショ。

式 (1) 左辺は 0≦sin^2(θ)≦1 なる周期関数。
ならば、右辺のほうは、
　0≦ 2θ-U ≦1
　U/2 ≦ θ ≦ (U+1)/2
の範囲内に絞れる。

… ならば、たとえば θ= U/2 を初期近似解とすれば、Newton 法で近似解に到達できるはず。

お礼

早速のご解答ありがとうございます。またの際もよろしくお願いします。

回答No.2

aokii

近似計算で求めるしかないようです。

補足

お手数おかけします。例えばどうやって近似計算すればよいのでしょうか。

回答No.1

sunflower-san

ご質問の方程式の場合、θの簡単な表示はないと思います。
求めるというのが(実数解の)数値計算をするという意味ならば、非常に愚直な方法ですが以下のようにやるのはどうでしょうか？

まず、a = (V/8L), φ = 2θとおけば、
a = φ -sinφ で φをaの式で表す問題になります。
右辺を原点の近傍でTaylor展開すれば
a = φ^3/3! - φ^5/5! + φ^7/7! - φ^9/9! +・・・
ですから、b = (6a)^(1/3)
とおけば
b = φ - φ^3/60 + φ^5/8400 - φ^9/349272000 +・・・
べき級数を帰納的に逆に解けば、
φ = b + b^3/60 + b^5/1400 + b^7/25200 +43 b^9/17248000 + ・・・
のようになります。(ちなみにこのべき級数は全ての複素数bに対して収束します)
このような級数は特に小さなbに対しては速く収束します。
ただし、b = (3V/4L)^1/3, φ = 2θ としています。

お礼

早速のご解答ありがとうございます。テイラー展開試してみます。また、よろしくお願いします。