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noname#215361の回答
p+qiにおいて、p=0とすると、与式を満たすqは存在しないので、p≠0として以下の考察をします。 (1)p+qiにおけるq=0の場合についての考察 pが与式の解になるので、 4p^3-4p^3-4p^2+1=0 4p^2=1→p=±1/2 ・p=1/2のとき 与式 =4x^3-2x^2-2x+1 =(2x-1)(2x^2-1) =0 これから、x=1/2、±√2/2 ・p=-1/2のとき 与式 =4x^3+2x^2+2x+1 =(2x+1)(2x^2+1) =0 これから、x=-1/2、±i√2/2 以上では、あくまでもp+qiにおいてq=0とした場合を考えているので、他の2つの解が実数であるか虚数(この場合p=0となり前提と矛盾)であるかは無関係であり、p=1/2、q=0と、p=-1/2、q=0は、いずれも正解となる (2)p+qiにおけるq≠0の場合についての考察 与式がx=p+qiを解にもつので、x=p-qiも解にもち、与式の左辺は、 {x-(p+qi)}{x-(p-qi)}={x^2-2px+(p^2+q^2)}を因数にもつ 第三の解(実数解)をαとすると、与式の左辺は、 4(x-α){x^2-2px+(p^2+q^2)}-(a) と表わせる 与式の左辺は、x=0のとき1になるので、(a)においてx=0とすると、 -4α(p^2+q^2)=1-(b) (a)を展開して与式の左辺と比較すると、 x^2の係数は、 -8p-4α=-4p→α=-p-(c) これを(b)に代入して、4p(p^2+q^2)-1=0-(d) xの係数は、 4(p^2+q^2)+8pα=-4(p+q) (c)から、 4(p^2+q^2)-8p^2=-4(p+q) 4q^2-4p^2=-4(p+q) (p+q)(p-q)=p+q (p+q))(p-q-1)=0 ・p+q=0→q=-pのとき これを(d)に代入して、 4p(p^2+p^2)-1=0 8p^3-1=0 (2p-1)(4p^2+2p+1)=0 4p^2+2p+1={4(p+1/4)^2+3/4}>0 よって、2p-1=0→=0→p=1/2、q=-1/2 ・p-q-1=0→q=p-1のとき これを(d)に代入して、 4p{p^2+(p-1)^2)}-1=0 4p(p^2+p^2-2p+1)-1=0 8p^3-8p^2+4p-1=0 (2p-1)(4p^2-2p+1)=0 4p^2-2p+1={4(p-1/4)^2+3/4}>0 よって、2p-1=0→p=1/2、q=1/2-1=-1/2 以上から、いずれの場合もp=1/2、q=-1/2
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