至急お願いします！

質問

数学の問題なのですが、

p、qを実数とする。
xの3次方程式
4xの3乗-4pxの2乗-4(p+q)x+1=0
がp+qiを解にもつ。ただしiは虚数単位とする。p、qの値を求めよ。

の解法を教えて下さい！

回答No.2

bran111

I) q≠0の場合を扱う。

4xの3乗-4pxの2乗-4(p+q)x+1=0より

y=f(x)=x^3-px^2-(p+q)x+1/4

とおく。

f(x)=0がx=p+qiを解にもつとき、x=p-qiもまた解である。

つまりf(x)は[x-(p+qi)][x-(p-qi)]=x^2-2px+p^2+q^2を因子に持つ。

f(x)=0のときx^2-2px+p^2+q^2＝0すなわち

x^2=2px-(p^2+q^2) (1)

となり、

これを用いてf(p+qi)をxの次数を下げて計算を進める。

x^3-px^2-(p+q)x+1/4＝0

x^2(x-p)-(p+q)x+1/4＝0

(x-p)[2px-(p^2+q^2)]-(p+q)x+1/4＝0

2px^2-2p^2x-(p^2+q^2)x+p(p^2+q^2)-(p+q)x+1/4＝0

2p[2px-(p^2+q^2)]-(3p^2+q^2)x+p(p^2+q^2)-(p+q)x+1/4＝0

[p^2-q^2-(p+q)]x-p(p^2+q^2)+1/4＝0

x=p+qiを代入

[p^2-q^2-(p+q)](p+qi)-p(p^2+q^2)+1/4＝0

これが成り立つためには左辺の実数部、虚数部がともに0となる必要がある。

虚数部　　[p^2-q^2-(p+q)]q=0 ⇒　q(p+q)(p-q-1)=0 ⇒　 p=-qまたは p=q+1 (q=0は除外） (2)

実数部　　p(2q^2+p+q)-1/4=0 (3)

1）p=-q

(3)より　q^3=-1/8 ⇒　q=-1/2, p=1/2

2) p=q+1

(3)より　8p^3-8p^2+4p-1=0

因数分解して

(2p-1)(4p^2-2p+1)=0

pは実数なのでp=1/2, q=-1/2

いずれもp=1/2, q=-1/2

このとき元の方程式は

4x^3-2x^2+1=0

(x+1/2)(x^2-x+1/2)=0

x=-1/2, (1±i)/2

この解は条件を満たしている。

II) ｑ＝0のとき

元の方程式は

4x^3-4px^2-4px+1＝0

x=pを解に持つので

p=±1/2

1)p=1/2のとき

4x^3-4px^2-4px+1=4(x-1/2)(x^2-1/2)

x=1/2, ±1/√2を解とする。

これはq=0に反しない。

2)p=-1/2のとき

4x^3-4px^2-4px+1=4(x-1/2)(x^2-1/2)

x=-1/2, ±i/√2を解とする。

これはq=0に反する。

以上より

p=1/2, q=-1/2

または

ｐ＝1/2, q=0