高校数学（微分に関して）

質問

微分に関してご質問がございます。
以下の関数を微分した結果を教えて頂けないでしょうか。
参考とされた公式も合わせて教えて頂けたら幸いです。

（１）logf(x)

（２）f(x)/g(x)

（３）y=xのx乗

どうぞ宜しくお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

ANo.1の補足質問の回答」

>追加のご質問で大変申し訳ございません。
>（1+i）^n=2　の式から自然対数をとり、
>nについて解いた場合、解答としてはn=log(1+i)2が解になりますでしょうか？

n=log(i+1)2
の右辺は何でしょうか？
右辺の式の表現の意味があいまいです。
(i+1)は対数の底 or 真数の一部？
それとも
真数は(i+1) or (i+1)2 ?
2は{log(i+1)}*2の意味　？
はっきりしないので回答不能です。

対数に虚数iが含まれるため、対数関数を複素対数関数へ拡張する必要があります。
log(i+1)=log(√2)+i{(π/4)+2kπ} (kは任意整数)
なので
n[log(√2)+i{(π/4)+2kπ}]=2
n=2/[(1/2)log(2)+i{(π/4)+2kπ}]　...(※)
(kは任意整数、iは虚数単位,logは自然対数、πは円周率)
となるかと思います。

形式的に書けば
nlog(1+i)=log(2)
n=log(2)/log(1+i)
=1/log[2](1+i)
(log[2]は底が2の対数です。)
なのでこのnは整数でもなく、実数でもなく、
(※)の式で表される一般の複素数（虚数）となります。

回答No.1

info222_

（１）logf(x)
合成関数の微分公式{g(f(x))}"=g'(f(x))f'(x)と公式{log(x)}'=1/xを用いて
{log(f(x))}'={1/f(x)}*f'(x)=f'(x)/f(x)

（２）f(x)/g(x)
商の微分公式を用いて
{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2

（３）y=x^x
公式 x^x=e^(xlog(x))を用いて
y'={xlog(x)}'*e^(xlog(x))={1*log(x)+x/x}x^x={1+log(x)}x^x

お礼

迅速なご回答ありがとうございました。
記述が分かりやすく、とても理解しやすかったです！

補足

追加のご質問で大変申し訳ございません。
（1+i）^n=2　の式から自然対数をとり、
nについて解いた場合、解答としてはn=log(1+i)2が解になりますでしょうか？

本来でしたら質問を分けるべきでしたが、info222さんの回答がとても分かりやすかったため、もし可能でしたら教えて頂けたらと思います。

どうぞよろしくお願いします。