数学について

質問

数学について

f（ｘ）＝（１＋ｘ）＾１/ｘ(x>0)とする。

（１）logf（ｘ）を微分することによってf（ｘ）の導関数を求めよ。

（２）０＜X1＜X2をみたす実数X1、X2に対してf（X1）＞f（X2）であることを証明。

（３）（１０１/100）^101（100/99）^99の大小を比較。

（１）の対数微分は計算できたのですが（２）からわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)
　f(x)=(1+x)^(1/x) (x>0)
　logf(x)=(1/x)log(1+x)
xで微分
　f'(x)/f(x)=(1/x)'*log(1+x)+(1/x)/(1+x)
　 =-(1/x^2)log(1+x)+1/(x(1+x))
　f'(x)=f(x){x-(1+x)log(1+x)}/{(1+x)x^2}
　 ={(1+x)^((1/x)-1)}{x-(1+x)log(1+x)}/x^2

(2)
x>0なので　{(1+x)^((1/x)-1)}/x^2>0,x-(1+x)log(1+x)<0 …(★)
　f'(x)<0 (x>0)
x>0で　f(x)は単調減少関数。
故に
　０＜X1＜X2をみたす実数X1、X2に対してf（X1）＞f（X2）である。

(★)について
g(x)=x-(1+x)log(1+x)
g'(x)=-log(1+x)<0(x>0)なのでg(x)はx>0で単調減少関数である。
かつ　g(0)=0 だから　g(x)x-(1+x)log(1+x)<0 (x>0)

(3)
(2)から
0<1/100<1/99より　(1+(1/100))^100＞(1+(1/99))^99 …(◆)

(101/100)^101=(1+(1/100))^101=(1+(1/100))(1+(1/100))^100＞(1+(1/100))^100

(◆)より
　＞(1+(1/99))^99=(100/99)^99

∴(101/100)^101＞(100/99)^99

回答No.2

ferien

f（ｘ）＝（１＋ｘ）＾１/ｘ(x>0)とする。

（１）logf（ｘ）を微分することによってf（ｘ）の導関数を求めよ。

＞（２）０＜X1＜X2をみたす実数X1、X2に対してf（X1）＞f（X2）であることを証明。
（１）の結果を使って、ｆ（ｘ）が単調減少関数であることを示せばいいと思います。
（増減表とか？）

＞（３）（１０１/100）^101（100/99）^99の大小を比較。
(101/100)^101＝｛1+(1/100)｝^101＞｛1+(1/100)｝^100　……（ア）
０＜1/100＜1/99だから、（２）の結果を使って、
｛1+(1/100)｝^100＞｛1+(1/99)｝^99　……（イ）
（ア）（イ）より、｛1+(1/100)｝^101＞｛1+｛1/99)｝^99　
よって、（101/100）^101＞（100/99）^99

回答No.1

B-juggler

こっちもそうだね。

（１）の答えが出ているのなら、書いてください。

そこから説明できると思います。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

こういうところで、自分の回答をサボっちゃダメよ。

間違っているかもしれないからね、常に自分だけ正しいとは思わないようにね。