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数II教えてください
f(x)=x^3-x^2-x-1、g(x)=x^2-x-1とする。 (1)方程式f(x)=0はただ1つの実数αを持つこと また1<α<2であることをを示せ。 (2)方程式g(x)=0の正の解をβとする。 αとβの大小比較せよ。 (3)α^2、β^3の大小比較せよ。 解説がほとんどなくて分かりません。教えてください。 解説が詳しいとありがたいです。
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f(x)=x^3-x^2-x-1、g(x)=x^2-x-1とする。 (1)方程式f(x)=0はただ1つの実数解αをもつことを示せ。また、1<α<2であることを示せ。 (2)方程式g(x)=0の正の解をβとする。αとβの大小を比較せよ。 (3)α^2とβ^3の大小を比較せよ。 という問いについてです。僕の考えた手順を以下に示しておきます。 (1)はf(x)のグラフを考えることで、解が1個であること、それが1から2の間にあることが言えますし、(2)もf(β)の大小を考えることで、α>βが言えます。 ∵) g(β)=0より f(β)=β(β^2-β-1)-1=-1<0 問題は(3)です g(β)=0を解くと β=(1+√5)/2 が 言えます。 ゆえに、頑張って計算すると β^3=2+√5>4 が求まり、1<α<2より α^2<4 なので α^2<β^3 が言え、一応答えは出せるのですが、もう少しいい解法があるのではないだろうかと思っています。というのも、この解答だと(2)の誘導に乗っていないからです。 これを不等式の評価で解きたいのですがいい方法はありますでしょうか?? yahooで検索してみたところhitが1件(yahooの知恵袋です)あり、そこに解答が載っていたのですが (http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1265467112) g(x)がx>1/2で単調増加であることから、1<β<αより g(β)<g(α) であって、1<β^2<α^2、すなわち g(β^2)<g(α^2) なので、この回答者さんの(3)の解説の2行目から3行目にかけて、すなわち g(β^3)-g(α^2) >g(β^3)-g(β^2) は誤りであると思われます。 ∵) -g(β^2)>-g(α^2) したがって、評価による解法が手詰まり状態なので、知恵を貸してください! お願いします!
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