数学IIに関して質問です。

質問

数学IIに関して質問です。

f(0)=0、f(1)=1のとき、∫(0→1){f'(x)}^2dx≧1の証明を教えてください。

f(x)を条件に合うような適当な関数に置いて、それを微分したものを普通に計算して証明すればいいのでしょうか。

回答No.2

f272

> (x)を条件に合うような適当な関数に置いて、それを微分したものを普通に計算して...

これでは，その適当な関数について証明しただけですね。

積分区間は省略して書くと
∫(t-f'(x))^2dx≧0
これはどんな実数tについても成立することは大丈夫だね。展開して
t^2*∫dx-2t*∫(f'(x))dx+∫(f'(x))^2dx≧0
t^2*(1-0)-2t*(f(1)-f(0))+∫(f'(x))^2dx≧0
t^2-2t+∫(f'(x))^2dx≧0
これの判別式を考えたら
D/4=1-∫(f'(x))^2dx≦0
となる。

回答No.1

rabbit_cat

数学IIですか？数学IIIではなくて？
たしか数学IIの微積は、整式しか出てこないと思うのですが、数学IIの範囲でこんな問題が解けるとは思えないが。
それとも、f(x)は整式という暗黙の前提がついているのか。
そもそも、数学IIでは「平均値の定理」って習いますか？

お礼

一応数学IIということで習っているのでf(x)は整式ですね。積分の平均値定理に関しては習っていません。