波動方程式における変数分離法について

質問

まずu(x,t)の1次元波動方程式{((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*{((∂^2)u)/(∂x^2)}について
ここでもし、u(x,y)がxの関数X(x),Tの関数T(t)の積u(x,y)=X(x)*T(t)で表すことができればこの微分方程式を解くことができる。

まずu(x,y)=X(x)*T(t)を代入すると、
{((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*{((∂^2)u)/(∂x^2)}はX*(T'')=(v^2)*(X'')*Tとなり、
これを(v^2)*X*Tで割ると{T''/(v^2)*T}=(X''/X)となる。
この式の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない。そしてこの定数AについてA<0が成り立つ。

次にu(x,y,t)の2次元波動方程式
{((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*[{((∂^2)u)/(∂x^2)} + {((∂^2)u)/(∂x^2)}]についても同様にu(x,y,t)がxの関数X(x),Yの関数Y(y),Tの関数T(t)の積X(x)*Y(y)*T(t)で表すことができればこの微分方程式を解くことができる。
u(x,y,t)=X(x)*Y(y)*T(t)を上の2次元波動方程式に代入すると、
X*Y*T''=(v^2)*[{(X'')*Y*T}+{X*Y*(T'')}]となり、
この両辺を(v^2)*X*Y*Tで割ると、{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}となる。
この式の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとなる必要がある。そしてA<0でなければならない。

※以上が変数分離法による1次・2次波動方程式を解く手順ですが、まず1次について「{T''/(v^2)*T}=(X''/X)の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない」というのは一体どういう意味なのでしょうか？
もし左辺がXのみの式でなかったら、例えばXとYの式だったら=定数Aとはおけないのでしょうか？
同じく2次の場合についても、「{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとならなければならない」とありますが、これもどういう意味なのでしょうか？　詳しいかた教えてください。お願いします。

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

大したことはありません。以下のようなことを言いたいだけです。

★命題1
　任意の関数 F(x), G(y) について
　　全ての (x,y) で F(x) = G(y)
　ならば、
　　F(x) = G(y) = A, 但し A は定数.
(∵)
　A(x,y) := F(x) = G(y) とすると、
　G(y) は x 依存性がないので A は x に依存しない。
　また、F(x) は y 依存性がないので A は y に依存しない。
　つまり、A(x,y) は x にも y にも依存しない定数である■

★1
> 「{T''/(v^2)*T}=(X''/X)の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない」というのは一体どういう意味なのでしょうか？

命題1と同様に、

　左辺はTのみの式、右辺はXのみの式
　→ 左辺は t のみの関数、右辺は x のみの関数
　→ 左辺は x に依存しない、右辺は t に依存しない
　→ この式は x にも t にも依存しない定数である

と考えれば良いです。

★2
> もし左辺がXのみの式でなかったら、例えばXとYの式だったら=定数Aとはおけないのでしょうか？

右辺に y が登場しなければ定数Aとおけます。なぜなら、同様にやってみると:

　左辺は x, y のみの関数、右辺は t のみの関数
　→ 左辺は t に依存しない、右辺は x, y に依存しない
　→ この式は x にも y にも t にも依存しない定数である

という具合にできます。

★3
> 「{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとならなければならない」とありますが、これもどういう意味なのでしょうか？

「★2」の議論の右辺と左辺を入れ替えた物に対応します。因みに、この場合 X''/X = T''/(v^2 T) - Y''/Y, Y''/Y = (略) などとも変形できるので、X''/X = 定数B, Y''/Y = 定数C (ただし、A = B + C) 等の様になります。一般化すると次の様になりますかね:

★命題2
　関数 F_1, …, F_n について、
　　任意の x_1, …, x_n に対し Σ[i=1～n] F_i(x_i) = 0　…(2.1)
　が成り立つならば、
　　F_i(x_i) = A_i = const, (i=1～n) かつ Σ[i=1～n] A_i = 0.
(∵)
　任意の整数 k (1≦k≦n) について、式(2.1)より、
　　F_k(x_k) = - Σ[i≠k] F_i(x_i)
　となる。左辺は x_i (i≠k) に依存しない。右辺は x_k に依存しない。従ってこの式は x_1, …, x_k のどの変数にも依存しないので、
　　F_k(x_k) = A_k = const
　とおける。元の式(2.1)に戻ると Σ[i=1～n] A_i = 0 も直ちにでる■

お礼

回答していただきありがとうございます。
もう一度良く考えてみるとご指摘のとおり、定数になる以外ありえない事が分かりました。
A(x,y)= F(x)と考えるとA(x,y)はxの関数になり、A(x,y)=G(y)と考えるとA(x,y)はyの関数になる。この条件を両方満たすA(x,y)は定数以外考えられないですね。
さらに拡張して関数 F_1, …, F_n について、
　　任意の x_1, …, x_n に対し Σ[i=1～n] F_i(x_i) = 0が成り立つならば、確かにF_i(x_i) = A_i = const, (i=1～n)となることが分かりました。

回答No.1

bran111

>まず1次について「{T''/(v^2)*T}=(X''/X)の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない」というのは一体どういう意味なのでしょうか？
もし左辺がXのみの式でなかったら、例えばXとYの式だったら=定数Aとはおけないのでしょうか？

1次元つまりu=u(x,t)に限定して議論しているわけです。Yなんか想定していません。

＞同じく2次の場合についても、「{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとならなければならない」とありますが、これもどういう意味なのでしょうか？　

2次元つまりu=u(x,y,t)として議論しているわけです。質問の内容は何ですか。