- ベストアンサー
複素平面
yyssaaの回答
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
>No.1です。以下の通り訂正します。 虚数単位をi(i^2=-1)とすると (-8)^(1/3)={i^2*2^3}^(1/3)=i^(2/3)*2^(3/3)=2*i^(2/3) nを整数とするとオイラーの公式でe^{(1/2+2n)πi} =cos{(1/2+2n)π}+isin{(1/2+2n)π}=iだから (ア)n=0のときi=e^(πi/2) i^(2/3)={e^(πi/2)}^(2/3)=e^(πi/3) よって(-8)^(1/3)=2e^(πi/3)=2cos(π/3)+2isin(π/3) =2*(1/2)+2i*√3/2=1+√3i・・・・・(1) (イ)n=1のときi=e^{(1/2+2)πi}=e^(5πi/2) i^(2/3)={e^(5πi/2)}^(2/3)=e^(5πi/3) よって(-8)^(1/3)=2e^(5πi/3)=2cos(5π/3)+2isin(5π/3) =2*(1/2)-2i*√3/2=1-√3i・・・・・(2) (ウ)n=2のときi=e^{(1/2+4)πi}=e^(9πi/2) i^(2/3)={e^(9πi/2)}^(2/3)=e^(3πi) よって(-8)^(1/3)=2e^(3πi)=2cos(3π)+2isin(3π) =-2+0i・・・・・(3) (エ)n=0,1,2以外の整数のとき(-8)^(1/3)は、(1)(2)(3)の いずれかとなる。 以上から複素平面上に(1)(2)(3)の3点を図示する。
関連するQ&A
- n乗根を複素平面で視覚的に解けないか?
1の平方根は±1で複素平面上で0を中心に180度角をなしています。 1の3乗根も1と(1±√3)/2 で綺麗に120度になってます。 1の4乗根も ±1と±iでそれぞれ90度の角をなしてるんですね。 -1の平方根も±iで180度なんですね。 iの平方根はx軸と45度の角をなした線の上に180度の角を なして (2+√2i)/2と(-2-√2i)/2 ですかね。 ±1と±iの n乗根には何か複素平面上で規則がありそうですが、 なんか定理とか公式みたいなものってあるんでしたっけ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素平面上に集合を図示する問題
複素平面上に集合を図示する問題で、 { z : |z+i|<2|z-i| } の図示の仕方が解答を見ても分かりません。 説明をして頂きたいので、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素平面上の積分について
複素平面状の円C:|z|=2をz=2から 正の向きに一周する積分∫c(z+(1/z))dzの値は? ↑上の問題で、半径が2の円C上で積分をする時の 積分範囲がよくわかりません。申し訳ありませんが、 解法を教えていただけませんでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数