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ｎ乗根を複素平面で視覚的に解けないか？
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>ｎ乗根を複素平面で視覚的に解けないか？ まず、「複素数Zのn乗根」を複素平面上で考えるための基本概念から。 (1) Zの指数関数表示 Z=|Z|exp(iθ) ただし、|Z|はZの絶対値、θはZの偏角。 (2) オイラーの公式 exp(iθ)=cos(θ)+isin(θ) これに指数法則を適用してm乗する(ド・モアブルの公式)と {exp(iθ)}^m=exp(imθ) になる。 (3) Zのn乗根は、Zの指数関数表示を使えば Z^(1/n)={|Z|^(1/n)}*exp(iθ/n) つまり、絶対値はn乗根、偏角はn分の1、ということ。 ±1や±iの絶対値は1ですから、以上の操作を使えば複素平面上での作図ができそうですね。
その他の回答 (4)
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
n乗根は1/n乗のことですよね、だからド・モアブルの定理 (sinθ + i*cosθ)^k = sin(kθ) + i*cos(kθ) をk=1/nのときに適応してみましょう。 本当は反則ですが、試しにやってみることは大切です。
お礼
回答ありがとうございます。なるほど。
±1は、exp(i・2π)とexp(i・π) ±iは、exp(±i・π/2)ですね。 従って、n乗根は、 ±1の方は、exp(i・2π/n)とexp(i・π/n) ±iの方は、exp(±i・π/2n)です。
お礼
回答ありがとうございます。
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
z^n=1で、とりあえずzの絶対値は１なので、極座標でz=e^(iθ) とします。 すると、 e^(inθ)＝1＝e^(2kπi) （ここにkは整数） nθ＝2kπ θ＝2kπ/n k=0,1,2,・・・,n-1 （k=nまでくるともとの点に戻るので、異なるのはこのｎ個の場合。） なので、１のｎ乗根は単位円周を１を含んだｎ等分する点で、正ｎ 角形を描くことになる。
お礼
なるほど。イメージできました。
- 10ken16
- ベストアンサー率27% (475/1721)
極座標・偏角で検索してみては？ あるいは「オイラーの贈物」 という書籍を読んでみれば、 疑問がすっきりすると思います。
お礼
オイラーの贈り物 よんでみますよ。ありがとうございます。
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お礼
なるほど イメージできました。ありがとうございます。