円錐振り子の糸の張力

質問

円錐振り子の糸の張力を求める際、鉛直方向に力を分解しますが、張力の直線上にまっすぐ座標軸を取ればS=mg*cosθとなってこれも正しいような気がしてしまいます。
正答はs=mg/cosθというのも正しいと思うのですが、なぜ張力の直線上に軸を取ってはいけないのかよくわかりません。
解説できる方、よろしくお願いします。

回答No.1

noname#212313 · ベストアンサー

> 張力の直線上にまっすぐ座標軸を取ればS=mg*cosθ

　これでいいかどうか、証明してみる前に、ちょっと極端な数値を入れてみると、直感的にいいかどうか分かることがあります。

　円錐振り子が真っ直ぐぶら下がっているときは、θ＝0°でcos0°＝1ですから、S＝mg*cosθ＝mgとなります。重りが静かにぶら下がっているときは、重りには重力のみが働いていますから、お考えの張力の式は正しい数字を与えます。

　逆にほぼ水平に回転させたとすると、θ＝90°（＝π/2）で、cos90°＝0ですから、S＝mg*cosθ＝0となります。張力がゼロ。これはちょっとおかしいですね。円錐振り子では、回転があまりにも速くなると糸が切れたりします。

　少し考えると、cosθの絶対値は0～1ですから、S＝mg*cosθという式は重力加速度以下の張力を表しています。張力が必ず重力加速度より小さいというのは何か変です。

　なぜこうなったかを考えると、円錐振り子の重りにかかる力の（つり合い）のうち、重力による力のみを考えて、それを張力方向にかかる力に換算した式がS＝mg*cosθだからです。

　実際には重りには回転運動による遠心力もかかっています。張力計算は遠心力を考慮する必要があります。幸い、円錐振り子では重力による力と遠心力は力のかかる方向が直角になっているため、ピタゴラスの定理が使えます。重力の2乗と遠心力の2乗を足して、ルートを取ってやればよいことになります。遠心力は力つり合いから重りの速度を求めるなどして、計算する必要があります。

　そうしてもよいです。でも、張力をSと置いてしまうほうが楽です。垂直方向がmg＝S*cosθで、水平方向は角速度をω、回転半径をrとして、mrω＝S*sinθとなります。

　こうしてみるとθで張力を表すだけでよいなら、垂直方向の式：mg＝S*cosθだけを使い、S＝mg/cosθとすぐに求められます。水平方向の力を考慮する必要がありません。

　S＝mg/cosθですと、θ＝0°のときS＝mg、そこからθ＝90°に近づくほどSは大きくなり、θ＝90°では無限大になります。直感的に、実際の状況と合います。

> なぜ張力の直線上に軸を取ってはいけないのかよくわかりません。

　そうしてもよいです。ただし、遠心力も考慮して計算する必要があり、ちょっと手間がかかります。よくある模範解答は手間の少ない方法を選んでいるのです。

お礼

回答ありがとうございます。
もうこれが気になって気になって夜も眠れませんでした。

非常にわかりやすく、スッキリしました。