円錐振り子について

質問

下らない質問で申し訳ないのですが・・・。

点Ｏから吊るした円錐振り子が、鉛直方向から60°傾いて円運動をしているとします。
糸が切れたとき、小球は点Ｏの真下の点Ｈから何ｍのところに落ちるか？という問題なのですが、
（他にわかっているのは、糸の長さが0.80ｍということのみ）

私の考察というか、解き方では、
糸が切れたら、水平方向に等速円運動の速さで等速度運動
鉛直方向に自由落下
という運動をするので、この2式を連立するというやり方なのですが、
どうも答えが合いません。
解説が無いので、どなたかお願いします。
ちなみに、円運動の速さは求まっています。
もしかしたら問題文の意味を把握していないのかもしれないです。
”点Ｈから何ｍのところに～”というところを曖昧にしているのかも・・・。

宜しくお願いします。

回答No.5

guiter · ベストアンサー

＞どの位置で糸が切れるのかが書いていないのですが、
＞何処で切れても同じ結果になるということなのでしょうか？
そうですよ。
切れた場所により飛んでいく方向は違いますが
点Ｈからの距離は同じ結果になります。

やり方は合ってますね。
stomachman さんの回答の問題５の部分など忘れがちなところですね。
ちなみに、1.2[m] となりましたが回答のミスプリということはないですか？

質問とは関係ないのですが、
この問題、実は最後の結果は重力加速度の値に依存しません。
どの星で行なっても点Ｈから着地点までの距離は同じです。
もちろん、途中の値（円運動の速さ、落下時間など）は重力加速度が関係します。
余力があれば数値を代入せず、糸の長さＬ、鉛直方向からの角度θなどの
ままやってみて下さい。上に書いた内容が確認できます。
また、角度をθのまま解くとθ＝０°のとき点Ｈから着地点までの距離が０になることや
θ＝90°になるためには円運動の速度が無限大でなければならないことなど
感覚では当たり前のことですが、きちんと数式で確認できます。
色々考えてみてくださいね。
最近理科離れが進んでいるようなので、つい関係ないことを書いてしまいました。

回答No.4

Zincer

再びZincerです。
stomachmanさんの回答は読まれましたか？
こちらでは補足を入れた時間がわからないので...と言うよりstomachmanさんの回答から察すると読んでますね。

redbeanさんの指摘の
＞一番難しいのは「円運動の速さ」を求めることだと思いますが、そこは大丈夫？
はstomachmanさんの回答（問題３）で解けますね？
一応ヒントだけ
この場合は真横から見た力のつりあいから解ります。
つまり、重力（ｍｇ）と糸の張力の合力が等速円運動の向心力ｍｒω＾2（だったはず？）になっている訳です。
これからω（角速度）が求まるから飛び出しの速度Ｖがでますね。

補足に対する回答は「stomachmanさんの回答」で充分でしょうが、
どこで切れても線分ＳＸの長さは一定
ｒは？当然一定
この２辺を直角にもつ直角三角形の斜辺の長さは一定
これが求めたい距離ＨＸですね。

回答No.3

stomachman

問題をより簡単な部分問題に分解することがポイントです。

問題１：点Oから0.80mの糸でつり下げられ、鉛直方向から60°傾いて円運動しているおもりは、点Oよりu メートルだけ低い位置にある。uを求めよ。
問題２：0.80mの糸でつり下げられ、鉛直方向から60°傾いて円運動しているおもりの軌道の半径rは幾らか。
問題３：0.80mの糸でつり下げられ、鉛直方向から60°傾いて円運動しているおもりの速さVは幾らか。

これらはできるんですよね。１，２は単なる幾何学です。３は重力加速度ｇの値が必要です。有効数字２桁が要求されていますから、ｇ=9.8 m/(s^2) で良いですね。

　さて、真上の遙か遙か高いところから照明を当てたと思ってくださいな。円運動の中心Oの影は、Oの真下の点Hと丁度重なる。さらに円軌道の円の影が床に写る。円軌道の半径と、円軌道の影の半径は同じ。

床に写った２次元の影絵において、おもりが落ちた地点Xを通って円に接する接線を描く。すると、この接線が円（の影）と接している点（Sとします）こそが、糸が切れた瞬間におもりがあった位置の影であり、線分SXはおもりが飛んだ軌跡の影です。
ここで、HSの長さは問題３で分かります。またSXの長さは

問題４：床からの高さが(h-u)の位置から、真ヨコへ速さVで発射した物体は、床にぶつかるまでにヨコにどれだけ移動するか。（答には未知の定数hが含まれます。hとは、OHの長さですね。）

という問題の答です。これもできるんですよね。（重力加速度ｇが必要です。）あとは

問題５：直角三角形HSX（角HSXが直角）において、HSとSXの長さが分かっているとき、HXの長さは幾らか。

というだけのことです。これができないてことはないでしょ。

最後までhが未知の定数として残っています。多分問題のどこかに与えてあると思うんだけどな。hの代わりに、糸が切れてからおもりが着地するまでの時間が与えてあってもよい。とにかく何かひとつ数値が抜けています。
本当に書いてないのなら、抜けたまま、つまりそれを未知数としたままにしておくのが正解ですね。

回答No.2

redbean

だいたいあっていると思いますが、「連立」という言葉に
ちょっと引っかかりました。

点Ｏと点Ｈの距離は定まっていますよね？（書いていな
いですが）
そうすれば、振り子が地面にぶつかるまでの時間が求めら
れるので、その時間を水平方向の等速度運動に適用すれば
いいと思います。

「連立」ではなく、水平、垂直の運動が独立している、と
いうことです。

一番難しいのは「円運動の速さ」を求めることだと思いま
すが、そこは大丈夫？

お礼

ありがとうございます。

連立と言うか・・・時間を媒介（？）して解いてます。
ＯＨは定まっています。0.8ｍです。

もう少し考えてみます。

回答No.1

Zincer

質問内容からは運動の始まる点（等速円運動をしている面）の高さが解らないので数値は出せませんが、基本的な考え方に問題は無い様です。
もしこの考え方で答えが合わないとすると、初速度の方向（半径に対して垂直）及び運動開始時の中心点Ｈからのずれを勘違いされていませんか？

補足

運動のはじまる点は、ＯＨ＝0.8、角度60°より、0.8（1-ｃｏｓ６０°）で、0.4ｍです。

どの位置で糸が切れるのかが書いていないのですが、何処で切れても同じ結果になるということなのでしょうか？
初歩的な質問で恥ずかしいのですが。