7-5至急宜しくお願いします!! ベクトル

質問

中心Oの円に内接する四角形をA[1]A[2]A[3]A[4]とし、どの線分A[i]A[j]も円Oの直径でないとするとき、
(1)↑OA[i]+↑OA[j]と↑OA[i]-↑OA[j]とは垂直であることを示せ。ただし、i,j=1,2,3,4 i≠jである

(2)線分A[3]A[4]の中点を通り、直線A[1]A[2]に垂直な直線上の任意の点をPとするとき、↑OPを↑OA[1],↑OA[2],↑OA[3],↑OA[4]を用いて表示せよ

(3)四角形の各辺の中点を通り、隣り合わない辺に垂直な直線は一点で交わることを示せ

解説 (1)(↑OA[i]+↑OA[j])(↑OA[i]-↑OA[j])=|↑OA[i]|^2-|↑OA[j]|^2=0であるから題意は成り立つ

(2)(1)により、A[1]A[2]に垂直な方向ベクトルは↑OA[1]+↑OA[2]であるからtを実数として
↑OP=(↑OA[3]+↑OA[4])/2+t(↑OA[1]+↑OA[2])・・・(1)

(3)(2)の直線の他にもう一本とって交点を求めれば題意の点が見つかるが、その点はA[1]～A[4]について対称な形で表されるべきである事に注意すると(1)でt=1/2に対応する点をQとすると

↑OQ=(↑OA[1]+↑OA[2]+↑OA[3]+↑OA[4])/2であり、同様にして、この点Qは他の3直線上の点でもあることが示される

(注)上では4直線が共有点を持つことを示したわけですが
それがただ、1点であるのは明らかです

とあったのですが(1)(2)は分かりました。

(3)なのですが(2)の直線の他にもう一本とって交点を求めれば題意の点が見つかるが、その点はA[1]～A[4]について対称な形で表されるべきである事に注意すると(1)でt=1/2に対応する点をQとするとの所なのですが、A[1]～A[4]について対称な形で表されるべきである事に注意するとあるのですが、何故A[1]～A[4]について対称な形で表されるべきなのでしょうか？

後(1)でt=1/2としているのですが、何故1/2なのか分からないです、この点Qが何で3直線上の点であると示されたことになるのかも分かりません

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

＞解説では(2)の直線ともう一本との交点さえ求まればそれが4直線の交点と言う書き方
＞なのですが、この場合(あ)と(う)との交点が見つかればそれが4直線との交点になると
＞言っているのと同じことですよね？

解説が正確にどう書いてあるかが判りにくいので推測も込みだが、
「(2)の直線の他にもう一本とって交点を求めれば題意の点が見つかる」
としたうえで、後の方で
「同様にして、この点Qは他の3直線上の点でもあることが示される」
と書いてあるのだとしたら、それで４直線が共有点を持つことが示されている。
「見つかる」ということと「示す（証明する）」という言葉をこの解説は異なる意味で使って
いるのではないか？前者は単に「察する」とか「あたりを付ける」程度の意味で、
証明はまた別ということではないか？

「示される」の部分については解説のように対称性から交点を
↑OQ=(↑OA[1]+↑OA[2]+↑OA[3]+↑OA[4])/2　・・・（ア）
とするにせよ、No1のようにまず２直線の交点を求めて上記の（ア）に至るにせよ、
その他の直線が例えば
線分A[1]A[4]の中点を通り、直線A[3]A[2]に垂直な直線上の任意の点Rは
↑OR=(↑OA[1]+↑OA[4])/2+v(↑OA[3]+↑OA[2])
と表されるのでこれを（ア）と比較すればv=1/2のときに点QとRが一致することは
容易に判る。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、有難うございました

回答No.2

gohtraw

＞まだ一点で交わることが分からない

どこまで人の書き込みをいい加減に読むのかね。呆れるよ。

「（あ）と（い）から導かれる交点と、例えば（う）と（え）から導かれる交点が一致
するなら四本の直線は一点で交わる」

と書いているだろう？これを読んで（う）と（え）から導かれる交点がどうなるのか
試してみなかったとしたら、とんでもない怠慢だな。

もっとも、対称性からの考察をすれば、いちいち計算しなくても察しはつきそうな
もんだが。

お礼

御返答有難うございます

補足

解説では(2)の直線ともう一本との交点さえ求まればそれが4直線の交点と言う書き方なのですが、この場合(あ)と(う)との交点が見つかればそれが4直線との交点になると言っているのと同じことですよね？しかし(あ)と(い)との交点と(う)と(え)との交点が一致しないと駄目ですよね？何故解説は(あ)と(う)の交点だけから分かると書いているのですか？

回答No.1

gohtraw

四つの頂点A0からA4のいずれにも特別な位置（定義）を与えていないの
だから、対称性が生じるのは当たり前。具体的には

線分A[3]A[4]の中点を通り、直線A[1]A[2]に垂直な直線上の任意の点をPとすると
↑OP=(↑OA[3]+↑OA[4])/2+t(↑OA[1]+↑OA[2])・・・（あ）
と表されるのと同様に
線分A[1]A[2]の中点を通り、直線A[3]A[4]に垂直な直線上の任意の点をQとすると
↑OQ=u(↑OA[3]+↑OA[4])+(↑OA[1]+↑OA[2])/2・・・（い）
と表されるということ（uは実数）。

さらに、
線分A[1]A[4]の中点を通り、直線A[3]A[2]に垂直な直線上の任意の点をRとすると
↑OR=(↑OA[1]+↑OA[4])/2+v(↑OA[3]+↑OA[2])・・・（う）
と表され、
線分A[3]A[2]の中点を通り、直線A[1]A[4]に垂直な直線上の任意の点をSとすると
↑OS=w(↑OA[1]+↑OA[4])+(↑OA[3]+↑OA[2])/2・・・（え）
と表されるということ（v、Wは実数）。

そして、（あ）で考えた直線と（い）で考えた直線の交点はPとQが一致する点なの
だから
(↑OA[3]+↑OA[4])/2+t(↑OA[1]+↑OA[2])=u(↑OA[3]+↑OA[4])+(↑OA[1]+↑OA[2])/2
と表されるということ。係数を比較すればこの交点においてt=u=1/2であると判る。このとき
↑OA[1],↑OA[2],↑OA[3],↑OA[4]が一次独立であることが必要で、そのために問題文の
「どの線分A[i]A[j]も円Oの直径でない」
があるのだろう。

（あ）と（い）から導かれる交点と、例えば（う）と（え）から導かれる交点が一致
するなら四本の直線は一点で交わることになる。

お礼

御返答有難うございます

補足

その説明だと一点で交わることが前提ですがまだ一点で交わることが分からないので、一点で交わる理由を是非教えてください、前提に立って考えるとt=1/2は分かりました