ベクトル解析（独学）、∇ｆの定義

質問

ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）に対し、対応する地点（ｘ、ｙ、ｆ（ｘ、ｙ））の傾斜を考える。

ｘｙ平面上で、（ｘ、ｙ）を通る単位方向ベクトルu=(ux,xy)の方向を向いた直線ｌ
（ｘ＋s(ux),y+s(uy))(sはパラメーター）を考え、この直線を含むｘｙ平面に垂直な平面とｆが交わって出来る曲線に沿って、（ｘ,y,f(x,y))から、（ｘ＋s(ux),y+s(uy)、ｆ(ｘ＋s(ux),y+s(uy))まで動いたとき、この間の平均傾斜は
{ｆ(ｘ＋s(ux),y+s(uy))-f(x,y)}/sだから、(x,y)での傾斜は（画像の６．１）であり、
６．１は（u内積V）と画像にあるのですが、６．１から（u内積V）を導いている式変形がよくわかりません。これはどういう意味なのでしょうか?

回答No.1

dragonkazooie

thereshさん，こんにちは．

画像一番下にある数式の式変形が分からない，というご質問でよろしいでしょうか．

式(6.1)より，c(x,y;u)=lim[s→0]{f(x+su_x,y+su_y)-f(x,y)}/sです．ここで，f(x+su_x,y+su_y)について考えてみましょう．これは，点(x,y)から微小量(su_x,su_y)だけ変位したときの値です．これは第一引数を固定し，第二引数の変化だけに着目すれば次のように近似できます．
　f(x+su_x,y+su_y)≒f(x+su_x,y)+{∂f(x+su_x,y)/∂y}×su_y　…(1)
一変数関数の近似と同じですね．(1)式にあるf(x+su_x,y)も同様に
　f(x+su_x,y)≒f(x,y)+(∂f(x,y)/∂x)×su_x　…(2)
と近似できます．これを(1)式に代入すれば結局
　f(x+su_x,y+su_y)≒f(x,y)+(∂f(x,y)/∂x)×su_x+{∂f(x+su_x,y)/∂y}×su_y　…(3)
となります．これを(6.1)式に代入すると
　c(x,y;u)
　=lim[s→0]{f(x,y)+(∂f(x,y)/∂x)×su_x+{∂f(x+su_x,y)/∂y}×su_y-f(x,y)}/s
　=lim[s→0]{(∂f(x,y)/∂x)×u_x+{∂f(x+su_x,y)/∂y}×u_y}
　=(∂f(x,y)/∂x)×u_x+{∂f(x,y)/∂y}×u_y　…(4)
となり，よく見ると画像一番下にある数式の真ん中と同じです．

ここで，u=(u_x,u_y)，そして画像からは分からないのですが，V=(∂f/∂x,∂f/∂y)=∇fと定義されているのでしょう．(4)式の形はちょうどこれら両ベクトルの同じ成分同士の積の和，つまり内積になっているので
　c(x,y;u)=u・V　…(5)
と書けるわけです．

分からない点があれば補足に書いてくださいね．