１階偏微分

質問

(x,y)=(0,s)のときU=βsをとり
Ux^2 + Uy^2 = 1 + x^2
を満たすU=U(x,y)を見つけたいのですが（0<β<1)

と以前質問したところ質問の意味がわからないという指摘を受けました。

(x,y)=(0,s)とはx=0 y=s
U=βsとはβとsの積
Ux^2 + Uy^2 とは(∂U/∂x)^2 + (∂U/∂y)^2 です

回答No.1

inara

１階の偏微分方程式は、線形、非線形にかかわらず、 F( x, y, U, Ux, Uy ) = 0 という形で表されます。ただし U は x と y の関数、Ux ≡∂U/∂x、Uy ≡∂U/∂y です。問題の微分方程式は
　　　　F = Ux^2 + Uy^2 - 1 -x^2 --- (1)
の場合です。F( x, y, U, Ux, Uy ) = 0 という形の微分方程式の解法にシャルピーの方法（the method of Charpit、Charpit’s method ）というのがあります。

【 シャルピーの方法 】
証明は省略しますが、微分方程式が F( x, y, U, Ux, Uy ) =0 で表される場合、次式が成り立ちます[1]。
　　　dx/( ∂F/∂Ux ) = dy/( ∂F/∂Uy ) = dU/( Ux*∂F/∂Ux + Uy*∂F/∂Uy ) = -dUx/( ∂F/∂x + Ux*∂F/∂U ) = -dUy/( ∂F/∂y + Uy*∂F/∂U ) ] --- (2)
これを解いて、Ux = f( x, y, U )、Uy = g( x, y, U ) を求め、 f( x, y, U )dx + g( x, y, U ) dy -dU = 0 を積分すれば U(x,y) が求められます。

【 問題の微分方程式の解 】
問題の微分方程式は式 (1) の場合ですから
　　　∂F/∂Ux = 2*Ux、∂F/∂Uy = 2*Uy、∂F/∂x = -2*x、∂F/∂y = 0、∂F/∂U = 0
となります（ Ux や Uy は本来 ｘ と y の関数ですが、ここでは x と y に無関係とします ）。これを式 (2) に代入すれば
　　　dx/( 2*Ux ) = dy/( 2*Uy ) = dU/( 2*Ux^2 + 2*Uy^2 ) = dUx/( 2*x ) = -dUy/0 --- (3)
となります。 最後の -dUy/0 は dUy = 0 （ Uy = C1 ) を意味します。

式 (3) の1番目と4番目の式から
　　　dx/( 2*Ux ) = dUx/( 2*x )　→ Ux dUx =x dx
両辺を積分すれば
　　　Ux^2/2 = x^2/2 + C2　→ Ux^2 = x^2 + 2*C2
Uy = C1 と上式（ Ux^2 = x^2 + 2*C2 ) を元の微分方程式に代入すれば
　　　C1^2 + x^2 + 2*C2 = 1 + x^2　
　　　→ C2 = ( 1 - C1^2 )/2　
　　　→ Ux^2 = x^2 + 2*C2 = x^2 + 1 - C1^2
　　　→ Ux = ±√( x^2 + 1 - C1^2 )
　　　→ U(x,y) = ±∫√( x^2 + 1 - C1^2 ) dx + f(y)
Uy = C1 だから　f(y) = C1*y + C3
　　　U(x, y) = ±∫√( x^2 + 1 - C1^2 ) dx + C1*y + C3
これが問題の微分方程式を満足することを確認すれば
　　　Ux = ±√( x^2 + 1 - C1^2 ) 、Uy = C1 なので Ux^2 + Uy^2 = x^2 + 1

不定積分∫√( x^2 + 1 - C1^2 ) dx は、 x^2 + 1 ≧ C1^2 の条件下で、 C1^2 - 1 = a とおけば
　　　∫√( x^2 + 1 - C1^2 ) dx
　　=∫√( x^2 - a ) dx
　　= 1/2*x*√( x^2 - a ) - 1/2*a*ln{ x + √( x^2 - a ) } + C
したがって
　　　U(x, y) = ±[ 1/2*x*√( x^2 - a ) - 1/2*a*ln{ x + √( x^2 - a ) } ] + C1*y + C'
　　　　　　　 = ±[ 1/2*x*√( x^2 + 1 - C1^2 ) - 1/2*( C1^2 - 1 )*ln{ x + √( x^2 + 1 - C1^2 ) } ] + C1*y + C'
U(0, s) = β*s なので
　　　±[ - 1/2*( C1^2 - 1 )*ln{ √( 1 - C1^2 ) } ] + C1*s + C' = β*s
　　　→ C1 = β、C' = ±1/2*( C1^2 - 1 )*ln{ √( 1 - C1^2 ) }
よって
　　　　U(x, y) = ±[ 1/2*x*√( x^2 + 1 - β^2 ) - 1/2*( β^2 - 1 )*ln{ x + √( x^2 + 1 - β^2 ) } + 1/2*( β^2 - 1 )*ln{ √( 1 - β^2 ) } ] + β*y
　　　　　　　　　= ±【 1/2*x*√( x^2 + 1 - β^2 ) - 1/2*( β^2 - 1 )*ln[ { x + √( x^2 + 1 - β^2 ) } /√( 1 - β^2 ) ] 】 + β*y

[1]　URLはhttpで始まっていませんが、これをアドレス欄に入れて Enter を押すと、セキュリティー設定によっては、PowerPointファイルを開くか・保存するかのダイアログが出ますのでどちらか選んでください　forum.vtu.ac.in/~edusat/Prog5/maths3/prh/CHARPITS.ppt

お礼

ありがとうございました