大学数学「空間とベクトル」の質問です

質問

「空間とベクトル」の問題がわかりません。お分かりの方、解答解説をお願いします。

R1,R2,は平面の回転で、次の合成変換R2・R１はどのような合同変換になるか？
(1)原点に関する45°の回転をR１、点P（√2，0）に関する－45°の回転をR2としたとき
(2)原点に関する60°の回転をR１、点P（ 1，0 ）に関する－60°の回転をR2としたとき

解答は
(1)ベクトル（√2ー1，１）による平行移動　
(2)ベクトル（1/2，√3/2）による平行移動　
となっています。

45°と－45°、60°と－60°の合成変換が平行移動になるのはわかるのですが、ベクトルがなぜこうなるのかわかりません。解説よろしくお願いします。

回答No.3

tumagie

＞平行移動になるのはわかる
のなら, 後はどんなベクトル（による平行移動）かを求めればいいだけですね. そのためには, ある1点がどのように動くかを考えれば十分です. 特に, この問題の場合, 原点を考えるのが楽かと思います.

(1)
(0,0) は R1 によって (0,0) に移動し (移動せず), R2 によって (√2-1,1) に移動する. よってベクトル (√2-1,1) による平行移動.
(2)
(0,0) は R1 によって (0,0) に移動し (移動せず), R2 によって (1/2,√3/2) に移動する. よってベクトル (1/2,√3/2) による平行移動.

回答No.2

trytobe

R2 のような任意の点を中心とした回転を、行列で表すために、次のように、「平行移動・回転・平行移動」の３行列の積で表すことができます。

さらにその前に 原点を中心とした R1 のような回転行列が掛け合わさって、

R1 してからの R2 という変換行列 R2・R1 を求めれば、解答のような平行移動に該当する行列を得るでしょう。

任意点周りの回転移動　画像処理ソリューション
http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-111.html

回転行列 中心 - Google 検索
http://www.google.co.jp/search?q=%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97+%E4%B8%AD%E5%BF%83

ポイントは、回転だけではなく平行移動もあるので、２次元平面上であっても、３行３列の行列で回転も平行移動も記述して、積算できるようにしておくことです。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。おかげで理解できました。

回答No.1

Tacosan

きっと, きちんと計算すればわかるんだと思うよ.

同次座標でも使えばいいのかな.

お礼

ありがとうございました。もう一度計算してみます。