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解析の問題です。
gohtrawの回答
- gohtraw
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x^2+y^2=1 ・・・（１） はｘｙ平面上では中心が原点、半径１の円です。 これを円Ｃとします。 Ｚ=y^2-4xy+4x^2 ＝（ｙ－２ｘ）＾２ なので、 ｐ＝ｙ－２ｘ ・・・（２） とすると ｐ＾２＝Ｚ です。よって、ｐの絶対値が最大、最小のときＺもそれぞれ最大、 最小となります。（２）は ｙ＝２ｘ＋ｐと変形でき、これはｘｙ平面上では傾きが２、ｙ切片がｐの直線 です。これを直線Ｌとします。 問題文より「x^2+y^2=1のもとで」なので、直線Ｌが円Ｃと共有点を 持った状態（交わるか接する）で上下に動くと考えると、ｙ切片ｐの絶対値 が最も小さいのはｐ＝０のときです。このとき円Ｃと直線Ｌの共有点では ｙ＝２ｘ なので、これを（１）に代入すると ５ｘ＾２＝１ ｘ＝±√５／５、ｙ＝±２√５／５（復号同順） であり、このとき Ｚ＝０ です。 また、ｙ切片ｐの絶対値が最も大きくなるのは円Ｃと直線Ｌが接する場合で、 このとき接点を通る半径は直線Ｌと直交するのでその傾きは－１／２です。 従って接点においては ｙ＝－ｘ／２ ｘ＝－２ｙ これを（１）に代入すると ５ｙ＾２＝１ ｙ＝±√５／５、ｘ＝±２√５／５ （復号逆順）であり、このときのｐの値は ±５ （符号はｙの符号と一致）になり、Ｚ＝５ となります。
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