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微分積分
x^2+y^2+z^2=1の下での xy+yz の最大値、最小値を求めよ この問題がわかりません 教えて下さい お願いします
- Majikayong
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- spring135
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3次元デカルト座標系(x,y,z)の代わりに3次元極座標系（球座標系：url参照）(r,Θ,φ）を考えます。 urlの図から明らかなように x=rsinΘcosφ (1) y=rsinΘsinφ (2) z=rcosΘ (3) 条件x^2+y^2+z^2=1はr=1と同値です。Θ,φは独立です。 問題の xy+yz＝Pの対称性を考慮して(1)~(3)の代わりに z=rsinΘcosφ (4) x=rsinΘsinφ (5) y=rcosΘ (6) にとります。 このとき P=xy+yz=y(x+z)=cosΘsinΘ(sinφ+cosφ) 倍角公式よりcosΘsinΘ=(1/2)sin(2Θ) 単振動の合成よりsinφ+cosφ=sin(φ+π/4)/√2 P=(√2/4)sin(2Θ)sin(φ+π/4) 最大値は2Θ=π/2, φ+π/4=π/2のときP=√2/4 2Θ=π/2, φ+π/4=π/2よりΘ=π/4, φ=π/4, (4)~(6)へ代入し z=x=1/2, y=1/√2, 対称性によりx,y,zを入れ替えてもよい。x^2+y^2+z^2=1を満たしている。 最小値は2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2または2Θ=π/2, φ+π/4=3π/2のときP=-√2/4 ここでは実際に2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2を満たすx,y,zが存在することを示す。 2Θ=3π/2, φ+π/4=π/2よりΘ=3π/4, φ=π/4, (4)~(6)へ代入し z=x=1/2,y=-1/√2 ,対称性によりx,y,zを入れ替えてもよい。x^2+y^2+z^2=1を満たしている。
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