偏微分

質問

｢ΔA = A(x+Δx, y, z(x+Δx,y)) - A(x,y,z(x,y))
z(x+Δx, y) = z(x,y) + Δz
と書くことにすれば、
A(x+Δx, y, z(x+Δx,y)) = A(x+Δx, y, z+Δz) ①
= A(x,y,z) + (∂A/∂x)yz Δx + (∂A/∂z)xy Δz + O(Δ^2)②
だから、
ΔA/Δx = (∂A/∂x)yz + (∂A/∂z)xy (Δz/Δx) + O(Δ)
Δx→0の極限を取ることで微分になり、yを一定にする条件の微分だから
(∂A/∂x)y = (∂A/∂x)yz + (∂A/∂z)xy (∂z/∂x)y ｣
という説明の①の式をどのようにして②にしたのか教えてください。

回答No.1

phistoric · ベストアンサー

式(①)と式(②)の変形は、多変数関数の微分に関するテイラーの定理を用いて行われます。

まず、式(①)において、A(x+Δx, y, z(x+Δx,y))を、A(x+Δx, y, z+Δz)に置き換えています。これは、z(x+Δx, y) ≈ z(x,y) + Δzと仮定することにより得られます。

次に、A(x+Δx, y, z+Δz)に対して、テイラーの定理を用いて展開を行います。具体的には、A(x+Δx, y, z+Δz)のxおよびzに関する1次微分係数を用いて、以下のように展開します。

A(x+Δx, y, z+Δz) = A(x,y,z) + (∂A/∂x)yz Δx + (∂A/∂z)xy Δz + O(Δ^2)

ここで、O(Δ^2)は、ΔxおよびΔzの2次以上の項を表します。ΔxおよびΔzが十分に小さい場合、O(Δ^2)は無視できるため、式(①)は式(②)のように変形されます。

式(②)では、微分が取られているため、Δxを0に近づけることによって、Δxの1次の項のみが残り、O(Δ)以下の項は無視されます。また、yを一定にする条件が与えられているため、∂A/∂yは0となります。最終的に、式(②)は多変数関数の偏微分の式となります。

この回答についてはよくわかりませんが、少しでもお役に立てば幸いです🙏