解析の問題です。

質問

解き方教えてください！
x^2+y^2=1のもとで、Ｚ=y^2-4xy+4x^2の最大値最小値を求めよ

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

x=cost,y=sintとおくと

x^2+y^2=1　より　0≦t<2π　　　　　　　　　　（1）

としてよい。

Z=y^2-4xy+4x^2=sin^2t-4sintcost+4cos^2t=1+3cos^2t-2sin(2t)

=1+3(cos(2t)+1)/2-2sin(2t)=5/2+(3/2)cos(2t)-2sin(2t)

=5/2+√[(3/2)^2+2^2]cos(2t+φ）　（単振動の合成(9)

=5/2+5/2cos(2t+φ）　　　　（2）

ここに

tanφ=2/(2/3)=4/3　　　　　　（3）

を満たす0≦φ<π/2なる角度とする。　　　

（1）（3）の条件下において（2）の最大値は5（cos(2t+φ)=1)、最小値は0（cos(2t+φ)=-1)、

回答No.6

gohtraw

NO3です。ちょっと訂正。最大値のところ、ｐの値は
±√５　です。根号が抜けていました。

回答No.5

pikaruche

No4 は無視してください。投稿したら、No3さんが、同じことをされていました。

回答No.4

pikaruche

中学の幾何で直感的な理解をともなって解けます。

Ｚ=y^2-4xy+4x^2
は
Ｚ=（yー２x）^2
だから、
y=2x+tのtを二乗したものがZになります。これからZは０以上でなければなりません。
y=2x+tと円との共通点のうち、tの絶対値を最大にするものと最小にするものを二乗すればZの範囲がでます。

y=2xは円を通るから、t=0が可能で、Z=0が最小値。
y=2x+tが円と接する時、tの絶対値は最大。tが正と負の二通りありますが、図形が360度すべて回転しても同じなので、一方だけ考えればよい。y=2x+tが円と接する点を（x,y）とすと、（x,y）と原点を通る直線はy=2x+tと直交するので、y=(-1/2)x,
でこれをx^2+y^2=1に代入すると、y=2x+tが円と接する点（x,y）=（2/root5,-1/root5）がすぐでてくるので、t=y-2x=-1/root5-4/root5=-5/root5
よって、Z＝t^2=25/5=5 Z=5が最大値

回答No.3

gohtraw

x^2+y^2=1　・・・（１）　はｘｙ平面上では中心が原点、半径１の円です。
これを円Ｃとします。

Ｚ=y^2-4xy+4x^2
　＝（ｙ－２ｘ）＾２
なので、
ｐ＝ｙ－２ｘ　・・・（２）
とすると
ｐ＾２＝Ｚ　です。よって、ｐの絶対値が最大、最小のときＺもそれぞれ最大、
最小となります。（２）は
ｙ＝２ｘ＋ｐと変形でき、これはｘｙ平面上では傾きが２、ｙ切片がｐの直線
です。これを直線Ｌとします。

問題文より「x^2+y^2=1のもとで」なので、直線Ｌが円Ｃと共有点を
持った状態（交わるか接する）で上下に動くと考えると、ｙ切片ｐの絶対値
が最も小さいのはｐ＝０のときです。このとき円Ｃと直線Ｌの共有点では
ｙ＝２ｘ　なので、これを（１）に代入すると
５ｘ＾２＝１
ｘ＝±√５／５、ｙ＝±２√５／５（復号同順）　であり、このとき
Ｚ＝０　です。

また、ｙ切片ｐの絶対値が最も大きくなるのは円Ｃと直線Ｌが接する場合で、
このとき接点を通る半径は直線Ｌと直交するのでその傾きは－１／２です。
従って接点においては
ｙ＝－ｘ／２
ｘ＝－２ｙ
これを（１）に代入すると
５ｙ＾２＝１
ｙ＝±√５／５、ｘ＝±２√５／５　（復号逆順）であり、このときのｐの値は
±５　（符号はｙの符号と一致）になり、Ｚ＝５　となります。

回答No.2

High_Score

最初に思いつくのはzを変形してx^2+y^2の形を作って１にして簡略化する方法ですが、やってみたらうまく行きませんでした。次に考えるべきは、円上の点なので極座標表示です。うまく行きました。
x=cosθ
y=sinθ (0≦θ<2π）
とおける。
z=(sinθ)^2-4cosθsinθ+4(cosθ)^2
=3(cosθ)^2-4cosθsinθ
ここで２倍角の公式
(cosθ)^2=(1+cos(2θ))/2
sin(2θ)=2sinθcosθ
を代入すると
z=3(1+cos(2θ))/2-2sin(2θ)=3/2*cos(2θ)-2sin(2θ)+3/2
=5/2{3/5*cos(2θ)-4/5sin(2θ)}+3/2
=5/2*cos(2θ+φ)+3/2
ただしφはtanφ=4/3

最後の詰めは御自身でどうぞ。