大学の微分積分の問題です。

質問

b>0とします。マクローリン展開を用いてlimx→0 {(sinhx)^2-(arctanx)^2}/{(1+x^4)^b-1}を求めてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

transcendental · ベストアンサー

sinh（ｘ）＝｛e＾（ｘ）－e＾（－ｘ）｝/２ですから、
｛sinh（ｘ）｝＾２＝｛e＾（２ｘ）－２＋e＾（－２ｘ）｝/４．
ここで、e＾（２ｘ）＝１＋（２ｘ）＋（１/２！）（２ｘ）＾２＋（１/３！）（２ｘ）＾３＋・・・、
e＾（ー２ｘ）＝１＋（ー２ｘ）＋（１/２！）（ー２ｘ）＾２＋（１/３！）（ー２ｘ）＾３＋・・・、
を利用すると、
｛sinh（ｘ）｝＾２＝ｘ＾２＋（１/３）ｘ＾４＋（２/４５）ｘ＾６＋・・・。

また、
arctan（ｘ）＝ｘ－（１/３）ｘ＾３＋（１/５）ｘ＾５－・・・、より、
｛arctan（ｘ）｝＾２＝ｘ＾２－（２/３）ｘ＾４＋（２３/４５）ｘ＾６－・・・。
ですから、
分子は、
｛sinh（ｘ）｝＾２ー｛arctan（ｘ）｝＾２＝ｘ＾４－（７/１５）ｘ＾６＋・・・
＝ｘ＾４｛１－（７/１５）ｘ＾２＋・・・｝
となります。
さらに、
（１＋ｘ＾４）＾ｂ＝１＋ｂ・ｘ＾４＋（１/２！）・ｂ・（ｂ－１）ｘ＾８＋・・・、より、
１/｛（１＋ｘ＾４）＾ｂ－１｝＝１/｛ｂ・ｘ＾４＋（１/２！）・ｂ・（ｂ－１）ｘ＾８＋・・・｝
＝（１/ｘ＾４）・１/｛ｂ＋（１/２）ｂ（ｂ－１）ｘ＾４＋・・・｝
ですから、ｘ≠０のとき、
【｛sinh（ｘ）｝＾２ー｛arctan（ｘ）｝＾２】/｛（１＋ｘ＾４）＾ｂ－１｝
＝｛１－（７/１５）ｘ＾２＋・・・｝/｛ｂ＋（１/２）ｂ（ｂ－１）ｘ＾４＋・・・｝
　→　１/ｂ、（x　→　０）
------------------------------
※打ちミスなどはご容赦ください。

回答No.1

Tacosan

何を?