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重積分の問題です。
ramayanaの回答
正攻法でやる計算手順を示します。他に簡単に計算する技巧があるかもしれませんが、それを探して悩むよりは、初めから地道に計算する方が早そうです。 説明を省いたところがあります。適当に行間を埋めてください。計算間違いがあったら悪しからず。 1 行列による表現 x_1,...,x_n を縦に並べた列ベクトルを X で表す。すると、 F(X) = t(X)PX である(t( )で転置行列を表すことにする)。ここでP は、対角成分が n+1 で、他の成分が 1 の n 次正方行列である。 P の固有値は、 n-1 個の n と、1 個の 2n である。 P が対称行列だから直交行列で対角化できることを考慮し、 P が次のように表されることが分かる。 P = t(Q)Q ここでQ は、|det(Q)| = 2^(1/2)・n^(n/2) なる n 次正方行列。 2 変数変換 Y = QX とし、Y の成分を y_1,...,y_n とする。 F(X) = t(Y)Y =Σ(y_j)^2 である。置換積分法により、 ∫(n-f(X))^(-1/2)dx_1....dx_n (積分の範囲はD) = (1/ |det(Q)|)∫(n-Σ(y_j)^2)^(-1/2)dy_1....dy_n となる。 2 行目の積分範囲は、半径が n^(1/2) の n 次元球体(Σ(y_j)^2 < n なる領域)である。作業は、この積分を計算することに帰着される。 3 積分の計算 積分記号内の関数 (n-Σ(y_j)^2)^(-1/2) は、原点から Y への距離のみに依存する。 そこで、原点からの距離を r で表せば、次のようになる。半径 r の n-1 次元球面の面積を S(r) で表す。 ∫(n-Σ(y_j)^2)^(-1/2)dy_1....dy_n = ∫[0 to n^(1/2)]S(r)(n-r^2)^(-1/2)dr = A∫[0 to n^(1/2)]r^(n-1)(n-r^2)^(-1/2)dr ( A = 2π^((n-1)/2)/Γ((n-1)/2) ) 最後の積分は、u = ((n^(1/2) - r)/ (n^(1/2) + r))^(1/2) と置いて、次のような有理関数の積分に帰着する。 ∫[0 to n^(1/2)]r^(n-1)(n-r^2)^(-1/2)dr = 2n^((n-1)/2)∫[0 to 1]((1-u^2) ^(n-1)/(1+u^2)^n) du あとは、個別の n に関し (1-u^2) ^(n-1)/(1+u^2)^n を部分分数に分解して計算できる。
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補足の説明もわかりやすくて助かりました! ありがとうございました!
補足
回答ありがとうございます。 1つ, P が対称行列だから直交行列で対角化できることを考慮し、 P が次のように表されることが分かる。 P = t(Q)Q という部分がわかりません。 よろしくお願いします。