重積分の問題です。

質問

nを自然数とし,f：R^n→Rの関数とする。

f(x_1,....,x_n)=nΣ(x_j)^2 + (Σx_j)^2
Σはどちらもj=1~nの和とします。

今,D={(x_1,..,x_n);f(x_1,....,x_n)<n}とする。
この時次の積分の値を求めよ。

∫(n-f(x_1,...,x_n))^(-1/2)dx_1....dx_n (積分の範囲はD)

fを二次形式の形に書き直すのかと思うのですがよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

ramayana

ANo.1 への補足について。 P = t(Q)Q と表される理由。

一般に「実数を要素とする対称行列は直交行列で対角化できる」ことは、ご存知と思います。よって、適当な直交行列 O を選んで、

[1]　U = O^(-1)PO

が対角行列になるようにすることができます。U の対角要素全体は、P の固有値全体と一致します。よって、 U は、対角線上に n-1 個の n と 1 個の 2n が並び、他の要素が 0 の行列です。 O をもっと適当に選べば、対角線上の上から n-1 個が n で、一番下が 2n となるようにすることができます。

次に、n 次対角行列 V を「対角線上の上から n-1 個が (n)^(1/2) で、一番下の 1 個が (2n)^(1/2) であり、他の要素が 0」となるように定めます。

[2]　U = V^2 = t(V)V

です。 [1] と [2] から O^(-1)PO = t(V)V ですが、両側からそれぞれ OとO の逆行列を乗じて次のようになります（ O が直交行列だから O^(-1) = t(O)である）。

[3]　 P = Ot(V)VO^(-1) = Ot(V)Vt(O) = t(Vt(O)) Vt(O)

そこで、

[4]　Q = Vt(O)

とすれば、P = t(Q)Q となります。

なお、O が直交行列だから |det(O)| = 1 です。また、det(V) = 「対角要素の積」= n^((n-1)/2)・(2n)^(1/2) = 2^(1/2)・n^(n/2) です。よって、

[5]　|det(Q)| = |det(V)| |det(t(O))| = |det(V)| |det(O)|
　　　　　= 2^(1/2)・n^(n/2)

となります。