三角不等式の意味

質問

大きさがそれぞれ５，３，１の平面ベクトルa,b,cに対して、ｚ＝a+b+cとおく。
（１）a,b,cを動かすとき、｜ｚ｜の最大値、最小値を求めよ。
（２）aを固定し、a・ｚ＝２０（内積）を満たすように、ｂ、ｃを動かす時、｜ｚ｜の最大値、最小値を求めよ。
（１）
★｜a｜-｜b｜≦｜a+b｜≦｜a｜+｜b｜より、
(1)｜ｚ｜＝｜(a+b)+c｜≦｜a+b｜＋｜ｃ｜≦｜a｜＋｜b｜＋｜c｜より、最大値は９
(2)｜ｚ｜＝｜a+（b+c）｜≧｜a｜ー｜b+c｜≧｜a｜ー（｜b｜+｜c｜）より、最小値は１
（疑問）
(2)について、｜ｚ｜＝｜ｃ＋（a+b)｜≧｜ｃ｜ー｜a+b｜≧｜ｃ｜ー（｜a｜+｜b｜）より、－７などということはベクトルの大きさは正なので、あり得ませんが、なぜ成り立たないのでしょうか？（なぜ、このような組み合わせは作れないのでしょうか?
また、★の公式の意味がわからない（公式の証明は出来てもその意味するところがわからない）のですが、教えてください。

回答No.2

eltaliese · ベストアンサー

もう回答は要らないかもしれないし、合っているかも分からないうえにかなり力技な解き方です。

まず(1)の最大・最小は正しいと思う。
三角不等式の意味についてはよく分からん。とりあえず便利な公式だなということで、あとはググれ。

で、(2)
a・ｚ=20 ⇔ |a||z|cosα=20 ⇒　|z|cosα=4　…A
cosα≦1なので　|z|≧4

≪こっからは答えを出すためだけの力技≫
aを座標(5,0)と考える。そうすると　Aからa+b+c=(4,k)となる。
よって
　b+c=(-1,k)　…B　
★の公式から|b+c|≦4　…C
B,Cを満たすｋは　　-√15≦ｋ≦√15
したがって
　z=a+b+c=(4,±√15)のとき |z|は最大値√31　となる。

とまぁ、テストで書いたら×くらうこと請け合いな解法です。そもそも答えが合ってるかも分からんし。
多分答えはこうなるよとだけ言いたかったｗ

お礼

ありがとうございました

回答No.1

yyssaa

＞そもそも
(2)｜ｚ｜＝｜a+（b+c）｜≧｜a｜ー｜b+c｜≧｜a｜ー（｜b｜+｜c｜）より、最小値は１
が間違い。
|a|=5、a・ｚ=20で|z|=1はあり得ない。

お礼

ありがとうございました。
私の記述がおかしい部分がありましたので、もう一度質問してもよいでしょうか?