２次元な見かけのベクトルから３次元ベクトルを計算

質問

XY平面に、ベクトルAとベクトルBがあるとします。
ベクトルAとベクトルBの始点は原点で、また２つのベクトルのなす角は90度です。
これをXYZ空間に配置し、２つのベクトル始点を固定した状態でX軸、Y軸方向に回転させます。（AとBのなす角は常に90度）
つまり、始点を固定した状態でAとBのなす仮想三角平面が傾きを得たということになります。
これを、原点からZ軸方向に観察した時、観察者にはAとBのx成分とy成分が観察できるはずです。
また同様に、AとBの見かけのなす角も得られるはずです。

そこで、この観察者が得られる情報を使って、AとBのz成分を求めたいと思っています。
AとBのなす各が常に90度であるということがわかっているので、観察者からみた見かけのなす角とAとBのxy成分が分かればz成分もわかると思うのですが、その解き方がわかりません。
内積を使った式を作ってみても、うまく連立させられず、解が出ません。

数学が得意な方、ご教示頂けないでしょうか？

回答No.1

info222_

回転前のA,BのX,Y成分または絶対値と偏角が与えてないこと。
と
>２つのベクトル始点を固定した状態でX軸、Y軸方向に回転させます。
この回転の意味がわかりません。
「X軸、Y軸方向に回転」を意味が通じる書き方でもう少し詳しく細く説明してもらえませんか？またそれぞれの回転角も意味が通じるように具体的な表現（右ねじをＸ軸方向、Ｙ軸方向にあわせたとき、右ねじが進む回転方向の回転角がθx,θy,
負のときは逆方向の回転角を意味する。など）で補足説明に加えてください。

>その解き方がわかりません。
3次元のアフィン変換
ttp://www.geocities.co.jp/SiliconValley-Bay/4543/Rubic/Mathematics/Mathematics-3.html
ttp://ft-lab.ne.jp/cgi-bin/wiki.cgi?page=%A5%A2%A5%D5%A5%A3%A5%F3%CA%D1%B4%B9_3DCG
など

を使えば容易に計算できるかと思います。
やってみて分からなければ、途中計算を書いて、分からない部分を質問してください。