原点で交わる２直線Ａ、Ｂがあり、直線ＡはＸＺ平面上にあってＸ軸と１５度

質問

原点で交わる２直線Ａ、Ｂがあり、直線ＡはＸＺ平面上にあってＸ軸と１５度をなしており、直線ＢはＸＺ平面をＺ軸を軸に（反時計方向に）６０度回転させた平面上にあってＸＹ平面と２０度をなしているとき、２直線によって定義される平面に、Ｚ軸上の任意の点から引かれた垂線とＺ軸のなす角度を求めたいのですが・・・。なお。実際には文章中の１５度と２０度の２つの数値は無理数に置き換えるので、ｄ１、ｄ２という２つの変数を用いた式の形になっていれば充分です。なにやら法線ベクトルという考え方をするらしいのですが、垂線がＸＹ平面に投影された角度については必要ありません。Ｚ軸と垂線とによって定義される平面におけるＺ軸と垂線のなす角度がわからないのですが・・・。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

直線BをZ軸を中心に反時計回りに回転させる角度をφ(=60°)とします。
　また、式の記述を簡略化させるため、直線AがX軸となす角をα(=d1=15°),直線BがXY平面となす角をβ(=d2=20°)とします。

　2直線A、Bの単位方向ベクトルは、次のようになります。

　　直線Aの単位方向ベクトル：　(cosα,0,sinα)
　　直線Bの単位方向ベクトル：　(cosβcosφ,cosβsinφ,sinβ)

　ここから2直線A,Bに垂直なベクトルを求めますと、次のようになります。

　　2直線A,Bを含む平面の法線ベクトルn：　n=(-tanα,tanα/tanφ-tanβ/sinφ,1)　　・・・（1）

　ここで、法線ベクトルｎとz軸とがなす角θは、内積の関係から次のように導かれます。

　　(0,0,1)・ｎ＝|n|cosθ
　∴cosθ＝1/|n|

　ここに式（1）を代入すれば、θは次のように求められます。

　　θ＝arccos√[1/(cosα)^2+{(tanαcosβcosφ-sinβ)/(cosβsinφ)}^2]

お礼

大変わかりやすい回答、有難うございます。これを参考にして、関数電卓で力ずくで計算したいとおもいます。

回答No.3

alice_44

計算を代行してくれた方があるようです。
60゜の回転の向きは、あの質問文ではやはり、
解釈が分かれますね。

お礼

わかりにくい表現で、余計なことまでお考え頂き、恐縮です。誤解が生じないような表現を心がけたつもりでしたが、すみませんでした。

回答No.1

alice_44

60゜と 20゜の回転の向きが
イマイチはっきりしないのだけれど…
たぶん、
A の方向ベクトルが a = (cos15゜,0,sin15゜)、
B の方向ベクトルが
(cos20゜,0,sin20゜) を 60゜回転して、
b = (cos60゜cos20゜,-sin60゜cos20゜,sin20゜)
ということなんだろうと思う。

Z 軸の方向ベクトル c = (0,0,1) が
A,B の張る平面となす角の余角を求めるのだから、

c と外積 a×b のなす角を求めてもよいし、

c の正射影を sa+tb と置いて
(sa+tb-c)・a = 0,
(sa+tb-c)・b = 0 から s,t を定め、
c と sa+tb-c のなす角を求めてもよい。

ベクトル u と v のなす角 θ は、
u・v = ｜u｜｜v｜cosθ で求められる。