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整数の問題
３より大きい２つの素数a,b（a＜b）に対し、b^2-a^2は２４の倍数であることを示せ。 という問題です。 自分は次のようにときましたが、回答より短くすでしまい、本当に正しいのか判断できません。 「mod6においてa,bは素数、つまり２と３の倍数でないのでa≡±１、b≡±１より、b^2-a^2≡０よってb^2-a^2は６の倍数 mod４において同様にa≡±１、b≡±１より、b^2-a^2≡０よってb^2-a^2は４の倍数 従って、b^2-a^2は４の倍数であり、６の倍数でもあるから２４の倍数である」
- doragonnbo-ru
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No.2です。 この問題の本質はすべての「素数を平方した数」は24で割った余りが1であることでしょう。 以下のようにすれば、一度で24の倍数であると示せると考えます。 3より大きい素数Nを12で割ったあまりは、12の約数である2や3の倍数ではないから、 1,5,7,11に限られ、N=12m±1 またはN=12m±5 とおける (mは負でない整数で、m=0のとき復号は+5のみ） N^2=24(6m^2±m)+1 または N^2=24(6m^2±5m+1)+1 なので、 常に N^2≡1 (mod 24) である。 よって3より大きい2つの素数a,b（a<b）に対し、b^2-a^2は24の倍数である。
その他の回答 (6)
- Tacosan
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ちょっと面倒ですが 6m±1 からも同じ結論を導けますね＞#5.
- staratras
- ベストアンサー率41% (1447/3527)
No.5です。以下訂正します。失礼しました。 誤：すべての「素数を平方した数」は24で割った余りが1 正：すべての「3より大きい(=5以上の)素数を平方した数」は24で割った余りが1
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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ちょっと面倒だけど mod 3, 8 で解けますね。
#1ですが#2のいうとおりです。 失礼しました。
- staratras
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36や60は「4の倍数であり、6の倍数でもあります」が、「24の倍数ではない」です。 整数Nが整数aの倍数であり、かつ整数bの倍数であるからといって、整数ab(2数の積)の倍数であるとは限りません。 （aとbが互いに素である場合に限り成り立ちますので、4と6の組み合わせではだめです）
（日本語がこなれていないのに目をつぶるとして） 正しいです。
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お礼
丁寧な解説ありがとうございます！