整数論、公倍数について

質問

[a,b,c]＝[[a,b],c]を示せと言う問題です。

aの公約数の集合をA(a)で表すと、a,bの公倍数の集合はA(a)∩A(b)で表される。
同様にして、a,b,cの公倍数の集合はA(a)∩A(b)∩A(c)で表され、[a,b]とcの公倍数の集合は、[a,b]の倍数の集合∩A(c)で表される。

　ここで、[a,b]はa,bの最小公倍数であるから、[a,b]の倍数とはa,bの公倍数のことである。
したがって、[a,b]の倍数の集合＝A(a)∩A(b)である。

　よって、右辺＝[a,b]の倍数の集合∩A(c)
　　　　　　　＝（A(a)∩A(b)）∩A(c)
　　　　　　　＝A(a)∩A(b)∩A(c)
　　　　　　　＝左辺

というような感じでいいのかなと思ったのですが、この問題、数式で証明しようと思ったらどのようにすればよいのでしょうか？教えてください。

イメージとしてはa、b、cの最大公約数をkとおくとみたいな流れでの証明方法です。宜しくお願いします。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

こんな感じでやります。
「k=[a,b,c]、h=[a,b]、s=[[a,b],c]=[h,c]とおきます。

s=a*(h/a)*(s/h)=b*(h/b)*(s/h)
h/a、h/b、s/hは整数だから
sはaとbで割り切れる。
sはhとcの公倍数でもあるから、sはcの倍数でもある

よってsはa,b,cの公倍数である。
最小公倍数≦公倍数だから、k≦hが成り立つ。・・・○

kはa,b,cの公倍数だから、a,bで割り切れる
したがって、kはa,bの最小公倍数hで割り切れる。
kはcでも割り切れるからkはhとcの公倍数でもある。
最小公倍数≦公倍数だから、h≦kが成り立つ。・・・□

○と□よりh=kがいえる。

よって、[a,b,c]＝[[a,b],c]がいえた。」

以上！

お礼

yoikagariさん、早速のご解答有難うございます。
丁寧に解答して頂き、証明の流れはよくつかめました。

1点質問させて下さい。

↓下記の式変形はどういう意図でのものなのでしょうか？
s=a*(h/a)*(s/h)=b*(h/b)*(s/h)

結果を見ると、(h/a)、(s/h)のそれぞれはb、cの最大公約数((a,b,c)の事です。)以外の因数を引きずり出しているのかなと思ったのですが、どういう考え方で導いているのか教えて頂けますか？

回答No.5

yoikagari

混乱させてしまったようで申し分けありません。

＞s=a*(h/a)*(s/h)=b*(h/b)*(s/h)
この式は「sはaとbで割り切れる、つまりsはaとbの公倍数である」以上の意味を持ちません。
つまり、h/a,s/h,h/bは整数と考えていただければよいです。
私は、s=a*(整数)=b*(整数)
と言うイメージで上記の式を書きました

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
丁寧に補足していただき有難うございました。

回答No.4

quantum2000

Ｎｏ．３ですが，回答を送ってすぐに間違いに気がつきました！
　　［ａ，ｂ］＝ｘｙｋ
なんて，一般的には言えませんよね！
こんなに簡単なら，すぐに正解が投稿されてますよね！！
失礼しました！！

回答No.3

quantum2000

［ａ，ｂ，ｃ］は，ａとｂとｃ の最小公倍数を表すとして，
　　［ａ，ｂ，ｃ］＝［［ａ，ｂ］，ｃ］
を証明するのに，
ａ，ｂ，ｃ の最大公約数をｋ とおいて証明してみると・・・

　　ａ＝ｘｋ，ｂ＝ｙｋ，ｃ＝ｚｋ
とおくことができて，
このとき ｘとｙとｚ は互いに素であるから，
　　［ａ，ｂ，ｃ］＝ ｘｙｚｋ　　(1)
となる．

また，
　　［ａ，ｂ］＝ｘｙｋ
だから，
　　［［ａ，ｂ］，ｃ］
　＝［ｘｙｋ，ｚｋ］
　＝ｘｙｚｋ 　　　　 　　　　 (2)
（なぜなら，ｘとｙとｚ が互いに素ならば，ｘｙとｚ も互いに素であるから）

したがって，(1)，(2) より，
　　［ａ，ｂ，ｃ］＝［［ａ，ｂ］，ｃ］

というような感じでどうでしょう？

回答No.2

take008

kazukazu025 さんの要求にはそぐわないかも知れませんが，
つぎのような考え方もあります。
　対象となる数たちを素因数分解する。
　各素数についてそれぞれの指数の最大値（最小値）を指数にもつ数が
　最小公倍数（最大公約数）である。
例．360＝2^3・3^2・5^1，1008＝2^4・3^2・7^1 の
　　最小公倍数は 2^4・3^2・5^1・7^1＝5040（最大公倍数は 2^3・3^2＝72）
したがって，
　[ａ,ｂ,ｃ]＝[[ａ,ｂ],ｃ]
は
　各素数の指数について max(ｉ,ｊ,ｋ)＝max(max(ｉ,ｊ),ｋ)
と同値です。