順序数の質問です。

質問

[集合の公理系ZF]において、
２つの順序数Ａ,Ｂが、順序同型となる場合、ＡとＢは(集合として)等しい。
A≅B⇔A=B

これの証明を教えて下さい。
（書籍に証明が記載されていなかったので）

詳しい方お願いします。

回答No.1

tmpname

方針だけ示すと、

fを AからBへの順序同型とする。

f(x)≠xであるものがあったとして、そのような最小のものを取る。
y∈xであればy = f(y)であって、yはAにもBにも含まれる。

順序数がそれより小さい順序数全体であることに注意すると、
x = {y∈A | y∈ x}、f(x) = {y'∈B|y' ∈ f(x)}である。
fが順序同型だから
y∈x⇒ y = f(y) ∈ f(x)であって、x = {y∈B|y∈ f(x)} = f(x)となり矛盾する。

従ってA={x|x∈A} = {f(x) | x∈A} ⊆B。逆向きも同様。