全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A

質問

次の問題を解いているのですが…。
よろしくお願い致します。(i)の必要性の証明で困ってます。

[[問] 次の(i),(ii)を証明せよ。Z(-)を負整数全体の集合とする。
(i) 全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A.
(ii) Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合

[(i)の証]
十分性を示す。
A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。
よってAは全順序だが整列集合とならない。
必要性を示す。
∃B⊂A;minBが存在しない。その時,Z(-)⊂Aを言えばいいのですがどうすればいえますでしょうか?

[(ii)の証]
対偶「Aは整列集合でないならば(Aは全順序集合でない∨(∃B⊂A;Bは可算だが非整列))」となる。
もし,Aが非整列ならAは全順序ではない場合もありうる。
もし,Aが非整列だがAは全順序の場合,∃B⊂A;(Bは可算∧minBが存在しない)でなければならない。これは,(i)の必要性よりZ(-)⊂A (Z(-)は可算)と言えるのでB:=Z(-)と採ればよい。
この時,B非整列なので(∵最小値を持たないBの部分集合としてBを採ればよい)
Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合
が示せた。となったのですがこれで正しいでしょうか?

回答No.6

tecchan22 · ベストアンサー

＞(P⇒Q)=trueを示す代わりに￢(P⇒Q)=falseを示すが背理法でしたね。
＞P⇒Qの定義は(￢P)∨Qなので￢(P⇒Q)はP∧￢Qですね。
＞だから(Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合)∧(Aは非整列集合)
＞が偽になる事を言えばいいのですね。

そゆこと。

＞（１）の必要性の証明
＞minBが存在しないB(⊂A)がある。そこで{b_n}⊂B,b_n>b_(n+1)なる列が採れる。
Z(-)∋∀z|→f(z):=b_-zと順序同型写像が採れるのでZ(-)と{b_n}は順序同型。
よってZ(-)⊂A.

分かってますね。ｏｋｏｋ。

要するに、「整列である」＝「無限降下列を含まない」
がいえるということですね。

ではさようなら。

お礼

ありがとうございました。
とても勉強になりました。

回答No.5

tecchan22

これは（ⅱ）の証明の修正ですね。

＞Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは非整列集合と仮定してみる。

「⇒」は間違い。「かつ」です。

＞Aは整列ではないのだから(i)よりZ(-)⊂Aと言え,Z(-)は可算な部分集合なのに整列ではない。
よって矛盾。

あとはいいです。
『「ＡかつＢ」が矛盾』から、「ＡならばＢでない」が言えます。

僕が、ほとんど答えを言ったようなものだから、証明を下に、と言ったのは、（１）の必要性の証明のことですよ。

お礼

ありがとうございます。

> ＞Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは非整列集合と仮定してみる。
> 「⇒」は間違い。「かつ」です。

(P⇒Q)=trueを示す代わりに￢(P⇒Q)=falseを示すが背理法でしたね。
P⇒Qの定義は(￢P)∨Qなので￢(P⇒Q)はP∧￢Qですね。
だから(Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合)∧(Aは非整列集合)
が偽になる事を言えばいいのですね。

> 僕が、ほとんど答えを言ったようなものだから、証明を下に、と言ったのは、（１）の必要性の証明のことですよ。

minBが存在しないB(⊂A)がある。そこで{b_n}⊂B,b_n>b_(n+1)なる列が採れる。
Z(-)∋∀z|→f(z):=b_-zと順序同型写像が採れるのでZ(-)と{b_n}は順序同型。
よってZ(-)⊂A.

ですね。

回答No.4

tecchan22

＞ありがとうございます。おかげさまで見通しよくなりました。

理解しましたか？

もう答えを言った様なもんなんで、証明できたら、下にどうぞ。

お礼

> 理解しましたか？
> もう答えを言った様なもんなんで、証明できたら、下にどうぞ。

Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは非整列集合
と仮定してみる。
Aは整列ではないのだから(i)よりZ(-)⊂Aと言え,Z(-)は可算な部分集合なのに整列ではない。
よって矛盾。

、、、ですね。

回答No.3

tecchan22

（ⅱ）の証明は大筋はいいが・・・ああ、添削したい。

まず確認やが、
＞(i) 全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A.
のZ(-)⊂Aの意味は、Ａの部分集合でZ(-)と順序同型なものがとれる、という意味ですね。

＞[(i)の証]
＞十分性を示す。
＞A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。

・Z(-)⊆A のとき A=Z(-)とは普通なりませんね。Z(-)≠A の場合はどうするのですか？
・それとも（善意に解釈すると）、”Ａの部分集合Ｂとして、Ｂ=Z(-) をとると”、という意味ですか？
・そもそも{2z;z∈Z(-)}を考えるまでもなく、Z(-) が最小値を持たないでしょう。
・十分性はきわめて簡単な証明になりますから、やり直しましょう。

＞[(ii)の証]
＞もし,Aが非整列だがAは全順序の場合,∃B⊂A;(Bは可算∧minBが存在しない)でなければならない。

・minBが存在しない→Ｂは非整列　　（この二つは勿論同じではない）
・「でなければならない」→であることをを示せば良い。

＞これは,(i)の必要性よりZ(-)⊂A (Z(-)は可算)と言えるのでB:=Z(-)と採ればよい。

・B:=Z(-)→B=Z(-)　　（こんなところで「定義」の記号は使わない）

＞この時,B非整列なので(∵最小値を持たないBの部分集合としてBを採ればよい)
＞Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合が示せた。となったのですがこれで正しいでしょうか?

最後は良い。

(2)は(1)からほとんど自明なので、(1)の必要性が、この問題のポイントですね。

整列でないということは、最小値を持たない部分集合がとれるわけで、その中に、Z(-) と同型な集合が（つまり、無限降下列が）とれそうですね。

後は自分で。レスには答えます。

お礼

ありがとうございます。

> のZ(-)⊂Aの意味は、Ａの部分集合でZ(-)と順序同型なものがとれる、という意味ですね。

はい、そうです。

> ＞[(i)の証]
> ＞十分性を示す。
:
> (2)は(1)からほとんど自明なので、(1)の必要性が、この問題のポイントですね。

ありがとうございます。おかげさまで見通しよくなりました。

回答No.2

kup3kup3

[(ii)の証]ですが、対偶
>対偶「Aは整列集合でないならば(Aは全順序集合でない∨(∃B⊂A;Bは可算だが非整列))」となる。

としていますが、「背理法で証明すれば」(i) から容易に導けると
思います。全順序まで否定してはいけません。すなわち
Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合であるのに
「Aは整列集合でない」と仮定する。
すると(i) から、Ａは「整数全体の集合と順序同型な」Z(-)を含む
Z(-)⊂A　あとは、整列集合の定義がわかっていれば終わりです。
よって
[(i)の証明]がポイントです。
命題「全順序集合Aが整列集合である」の否定の命題は
「整列集合である」の定義から、どういうことか、書き出してみましょう。

お礼

ありがとうございます。

> [(ii)の証]ですが、対偶
>>対偶「Aは整列集合でないならば(Aは全順序集合でない∨(∃B⊂A;Bは可算だが非整列))」となる。
> としていますが、「背理法で証明すれば」(i) から容易に導けると
> 思います。

そうですね。背理法なら簡単ですね。

> [(i)の証明]がポイントです。
> 命題「全順序集合Aが整列集合である」の否定の命題は
> 「整列集合である」の定義から、どういうことか、書き出してみましょう。

否定は「全順序集合Aが整列集合でない」なので「全順序集合Aにおいて∃B⊂A;Bは最小元を持たない」ですね

回答No.1

rinkun

初めに、Z(-)⊂Aって順序同型の意味で含まれるということで良いんだよね。

(i)
> A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。
この書き方だと何も示せてないよ。A=Z(-)はどこから出るの?
証明自体は、Z(-)⊂AならZ(-)自体が最小値を持たない部分集合だから自明だよね。
必要性は
B⊂Aに最小値が存在しないとしよう。このとき、b(n)∈Bならb(n+1)∈Bかつb(n+1)＜b(n)なb(n+1)があるわけだ。このとき{b(n)}はZ(-)と順序同型になる。

(ii)
冗長な書き方だと思うけど、特に間違いはないかな。
簡略に書けば、Aが全順序で整列でなければ(i)からZ(-)⊂Aで、Z(-)が整列でない可算な部分集合になるから背理法で示せるね。

お礼

ありがとうございます。

> 初めに、Z(-)⊂Aって順序同型の意味で含まれるということで良いんだよね。

はい,そうです。

> (i)
>> A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。
> この書き方だと何も示せてないよ。A=Z(-)はどこから出るの?

そうでした。A=Z(-)だと特殊な場合しか言ってない事になりますね。

> 証明自体は、Z(-)⊂AならZ(-)自体が最小値を持たない部分集合だから自明だよね。

そうでした。自明でした。

> 必要性は
> B⊂Aに最小値が存在しないとしよう。このとき、b(n)∈Bならb(n+1)∈B
> かつb(n+1)＜b(n)なb(n+1)があるわけだ。このとき{b(n)}はZ(-)と順序同型になる。

納得できました。どうもありがとうございました。

> (ii)
> 冗長な書き方だと思うけど、特に間違いはないかな。
> 簡略に書けば、Aが全順序で整列でなければ(i)からZ(-)⊂Aで、
> Z(-)が整列でない可算な部分集合になるから背理法で示せるね。

ありがとうございます。