• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A

次の問題を解いているのですが…。 よろしくお願い致します。(i)の必要性の証明で困ってます。 [[問] 次の(i),(ii)を証明せよ。Z(-)を負整数全体の集合とする。 (i) 全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A. (ii) Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合 [(i)の証] 十分性を示す。 A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。 よってAは全順序だが整列集合とならない。 必要性を示す。 ∃B⊂A;minBが存在しない。その時,Z(-)⊂Aを言えばいいのですがどうすればいえますでしょうか? [(ii)の証] 対偶「Aは整列集合でないならば(Aは全順序集合でない∨(∃B⊂A;Bは可算だが非整列))」となる。 もし,Aが非整列ならAは全順序ではない場合もありうる。 もし,Aが非整列だがAは全順序の場合,∃B⊂A;(Bは可算∧minBが存在しない)でなければならない。これは,(i)の必要性よりZ(-)⊂A (Z(-)は可算)と言えるのでB:=Z(-)と採ればよい。 この時,B非整列なので(∵最小値を持たないBの部分集合としてBを採ればよい) Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合 が示せた。となったのですがこれで正しいでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数6
  • 閲覧数343
  • ありがとう数6

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.6

>(P⇒Q)=trueを示す代わりに¬(P⇒Q)=falseを示すが背理法でしたね。 >P⇒Qの定義は(¬P)∨Qなので¬(P⇒Q)はP∧¬Qですね。 >だから(Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合)∧(Aは非整列集合) >が偽になる事を言えばいいのですね。 そゆこと。 >(1)の必要性の証明 >minBが存在しないB(⊂A)がある。そこで{b_n}⊂B,b_n>b_(n+1)なる列が採れる。 Z(-)∋∀z|→f(z):=b_-zと順序同型写像が採れるのでZ(-)と{b_n}は順序同型。 よってZ(-)⊂A. 分かってますね。okok。 要するに、「整列である」=「無限降下列を含まない」 がいえるということですね。 ではさようなら。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。 とても勉強になりました。

関連するQ&A

  • 全順序集合ではあるが整列集合ではない集合って…?

    こんにちは。 整列集合の定義は、全順序集合の中で、その部分集合が必ず最小限を持つもの でした。 ところでわざわざ全順序集合と整列集合をわけるということは、全順序集合の中でも整列集合じゃないものがあるってことですよね? しかしその部分集合が最小限を持たないような全順序集合ってどんなものなのでしょうか? 直観的にはよくわかりません… お願いします!

  • 順序集合などに詳しい方の回答お待ちしています。かなり困ってます・・・。

    (A_α)_α∈Λ(ラムダ)を、整列集合Λを添数集合とする集合族として、各A_αはe_αを最小元とする整列集合とする。 直積Π_[α∈Λ]A_αの元a=(a_α)_α∈Λで、Λの高々有限個の元αを除けばa_α=e_αであるようなものを考え、そのようなa全体の作るΠ_[α∈Λ]A_αの部分集合をAとする。 Aの相異なる2元a=(a_α)、a'=(a'_α)をとる。 a_α≠a'_αとなるαは有限個しか存在しないから、 β=max{α∈Λ|a_α≠a'_α}が存在する。 このとき、 a_β<a'_βならばa<a' a_β>a'_βならばa>a' のように、写像a、a'の間に順序を定義する。 このようにしてAに順序を導入する。 [問]この順序についてAは整列集合となることを証明せよ。 (証) 次の補題を利用する。 [補題] 順序集合Aの元の列(a_n)_n∈Nで、a_1>a_2>a_3>・・・>a_n>・・・となるものをAにおける降鎖という。Aが全順序集合の場合、Aが整列集合⇔Aにおける降鎖は存在しない。 さて、Aに導入した順序について、Aが全順序集合となることは容易に示される。よって、上の補題により、A=ΠA_αに降鎖が存在しないことを示せばよい。 仮に、Aに降鎖a^(1)>a^(2)>・・・>a^(n)>・・・が存在すると仮定し、 a^(n)=(a^(n)_α)_α∈Λ max{α|a^(n)_α≠e_α}=α_nとおく。 するとα_1≧α_2≧・・・≧α_n≧・・・である。 (実際、たとえばα_1<α_2とするとmax{α|a^(2)_α≠e_α}=α_2で、 α_1より大きなαに対してはa^(1)_α=e_αであるから a^(1)_(α_2)=e_(α_2)<a^(2)_(α_2)つまりa^(1)<a^(2)となり矛盾。したがってα_1≧α_2となること等により。) しかし、{α_n|n∈N}は整列集合Λの部分集合なので整列集合であるから、補題より(α_n)は降鎖でない。したがってあるn0∈Nが存在して α_n0=α_(n0+1)=・・・=α_(n0+n)=・・・となる。 この元をα~とおく。 すると、Aでの降鎖の存在の仮定より、 a^(n0)>a^(n0+1)>・・・>a^(n0+n)>・・・ であったが、これはAでの順序の定義より、 a^(n0)_α~>a^(n0+1)_α~>・・・>a^(n0+n)_α~>・・・ である。・・・(☆) しかるにこれは整列集合A_α~における降鎖が存在することとなって (補題より)A_α~が整列集合であることに矛盾。 したがってAには降鎖は存在しない。つまり、Aは整列集合である(終) のような証明が[集合位相入門/松坂和夫]という本に書かれていました。(☆)より前は理解できるのですが、(☆)の部分だけどうしてもわかりません。 >これはAでの順序の定義より、 >a^(n0)_α~>a^(n0+1)_α~>・・・>a^(n0+n)_α~>・・・ >である。 ということは、Aでの定義から、証明中で定めたα~が この質問文の冒頭で述べたβとなっているってことですか? だとしてもなぜだかわかりません・・・。 本当にいくら考えてもまったくわからず困っています。 どなたか、わかる方がいらっしゃったら 回答よろしくお願いしますm(_ _)m ※記号がたくさんあって見にくいと思います。 もし、おなじテキストを持っていたら、そちら(p125)を見て貰えると助かりますが・・・。あと、証明はところどころテキストには書かれていない文章を自分で補っている箇所もあります。

  • 全順序集合と半順序集合

    x=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) ∈R^n に対して x≦yを Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)y(i) (k=1,2,…,n) によってR^nに関係≦を導入する。 R^nはこの≦に関して半順序集合になっていることを示せ。 また、x≦(にならない)y , y≦(にならない)x となるx,yの例をあげよ。 という順序集合の問題です。 反射的・反対称的・推移的の3つを示せば良いのは分かるのですが、どのように書いて良のか分かりません。 例:推移的を示す 任意のx=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) , z=(z1,…,zn) ∈R^n に対して Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)y(i) かつ Σ(i=1からkまで)y(i) ≦ Σ(i=1からkまで)z(i) ならば Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)z(i)  は成り立つ。 このように、そのまま書けば良いのでしょうか・・・? それから、最後の例をあげよのところは、全順序集合にはならないための反例になっているのだと思いますが、どうしても思いつきません。 ∞を考えるのでしょうか・・・? そもそも全順序集合は半順序集合が成り立つことが前提みたいに習いましたが、反対称的の 任意のa,b∈Xに対して aRb,bRa⇒a=b ここで、aRbとbRaが成り立つことを言ってしまっているので、必ずaRbかbRaになっているような半順序集合は全順序集合という定義も意味がないような気がしてしまいます。 よろしくお願いします。

その他の回答 (5)

  • 回答No.5

これは(ⅱ)の証明の修正ですね。 >Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは非整列集合と仮定してみる。 「⇒」は間違い。「かつ」です。 >Aは整列ではないのだから(i)よりZ(-)⊂Aと言え,Z(-)は可算な部分集合なのに整列ではない。 よって矛盾。 あとはいいです。 『「AかつB」が矛盾』から、「AならばBでない」が言えます。 僕が、ほとんど答えを言ったようなものだから、証明を下に、と言ったのは、(1)の必要性の証明のことですよ。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。 > >Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは非整列集合と仮定してみる。 > 「⇒」は間違い。「かつ」です。 (P⇒Q)=trueを示す代わりに¬(P⇒Q)=falseを示すが背理法でしたね。 P⇒Qの定義は(¬P)∨Qなので¬(P⇒Q)はP∧¬Qですね。 だから(Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合)∧(Aは非整列集合) が偽になる事を言えばいいのですね。 > 僕が、ほとんど答えを言ったようなものだから、証明を下に、と言ったのは、(1)の必要性の証明のことですよ。 minBが存在しないB(⊂A)がある。そこで{b_n}⊂B,b_n>b_(n+1)なる列が採れる。 Z(-)∋∀z|→f(z):=b_-zと順序同型写像が採れるのでZ(-)と{b_n}は順序同型。 よってZ(-)⊂A. ですね。

  • 回答No.4

>ありがとうございます。おかげさまで見通しよくなりました。 理解しましたか? もう答えを言った様なもんなんで、証明できたら、下にどうぞ。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

> 理解しましたか? > もう答えを言った様なもんなんで、証明できたら、下にどうぞ。 Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは非整列集合 と仮定してみる。 Aは整列ではないのだから(i)よりZ(-)⊂Aと言え,Z(-)は可算な部分集合なのに整列ではない。 よって矛盾。 、、、ですね。

  • 回答No.3

(ⅱ)の証明は大筋はいいが・・・ああ、添削したい。 まず確認やが、 >(i) 全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A. のZ(-)⊂Aの意味は、Aの部分集合でZ(-)と順序同型なものがとれる、という意味ですね。 >[(i)の証] >十分性を示す。 >A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。 ・Z(-)⊆A のとき A=Z(-)とは普通なりませんね。Z(-)≠A の場合はどうするのですか? ・それとも(善意に解釈すると)、”Aの部分集合Bとして、B=Z(-) をとると”、という意味ですか? ・そもそも{2z;z∈Z(-)}を考えるまでもなく、Z(-) が最小値を持たないでしょう。 ・十分性はきわめて簡単な証明になりますから、やり直しましょう。 >[(ii)の証] >もし,Aが非整列だがAは全順序の場合,∃B⊂A;(Bは可算∧minBが存在しない)でなければならない。 ・minBが存在しない→Bは非整列  (この二つは勿論同じではない) ・「でなければならない」→であることをを示せば良い。 >これは,(i)の必要性よりZ(-)⊂A (Z(-)は可算)と言えるのでB:=Z(-)と採ればよい。 ・B:=Z(-)→B=Z(-)  (こんなところで「定義」の記号は使わない) >この時,B非整列なので(∵最小値を持たないBの部分集合としてBを採ればよい) >Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合が示せた。となったのですがこれで正しいでしょうか? 最後は良い。 (2)は(1)からほとんど自明なので、(1)の必要性が、この問題のポイントですね。 整列でないということは、最小値を持たない部分集合がとれるわけで、その中に、Z(-) と同型な集合が(つまり、無限降下列が)とれそうですね。 後は自分で。レスには答えます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。 > のZ(-)⊂Aの意味は、Aの部分集合でZ(-)と順序同型なものがとれる、という意味ですね。 はい、そうです。 > >[(i)の証] > >十分性を示す。 : > (2)は(1)からほとんど自明なので、(1)の必要性が、この問題のポイントですね。 ありがとうございます。おかげさまで見通しよくなりました。

  • 回答No.2

[(ii)の証]ですが、対偶 >対偶「Aは整列集合でないならば(Aは全順序集合でない∨(∃B⊂A;Bは可算だが非整列))」となる。 としていますが、「背理法で証明すれば」(i) から容易に導けると 思います。全順序まで否定してはいけません。すなわち Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合であるのに 「Aは整列集合でない」と仮定する。 すると(i) から、Aは「整数全体の集合と順序同型な」Z(-)を含む Z(-)⊂A あとは、整列集合の定義がわかっていれば終わりです。 よって [(i)の証明]がポイントです。 命題「全順序集合Aが整列集合である」の否定の命題は 「整列集合である」の定義から、どういうことか、書き出してみましょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。 > [(ii)の証]ですが、対偶 >>対偶「Aは整列集合でないならば(Aは全順序集合でない∨(∃B⊂A;Bは可算だが非整列))」となる。 > としていますが、「背理法で証明すれば」(i) から容易に導けると > 思います。 そうですね。背理法なら簡単ですね。 > [(i)の証明]がポイントです。 > 命題「全順序集合Aが整列集合である」の否定の命題は > 「整列集合である」の定義から、どういうことか、書き出してみましょう。 否定は「全順序集合Aが整列集合でない」なので「全順序集合Aにおいて∃B⊂A;Bは最小元を持たない」ですね

  • 回答No.1
  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)

初めに、Z(-)⊂Aって順序同型の意味で含まれるということで良いんだよね。 (i) > A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。 この書き方だと何も示せてないよ。A=Z(-)はどこから出るの? 証明自体は、Z(-)⊂AならZ(-)自体が最小値を持たない部分集合だから自明だよね。 必要性は B⊂Aに最小値が存在しないとしよう。このとき、b(n)∈Bならb(n+1)∈Bかつb(n+1)<b(n)なb(n+1)があるわけだ。このとき{b(n)}はZ(-)と順序同型になる。 (ii) 冗長な書き方だと思うけど、特に間違いはないかな。 簡略に書けば、Aが全順序で整列でなければ(i)からZ(-)⊂Aで、Z(-)が整列でない可算な部分集合になるから背理法で示せるね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。 > 初めに、Z(-)⊂Aって順序同型の意味で含まれるということで良いんだよね。 はい,そうです。 > (i) >> A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。 > この書き方だと何も示せてないよ。A=Z(-)はどこから出るの? そうでした。A=Z(-)だと特殊な場合しか言ってない事になりますね。 > 証明自体は、Z(-)⊂AならZ(-)自体が最小値を持たない部分集合だから自明だよね。 そうでした。自明でした。 > 必要性は > B⊂Aに最小値が存在しないとしよう。このとき、b(n)∈Bならb(n+1)∈B > かつb(n+1)<b(n)なb(n+1)があるわけだ。このとき{b(n)}はZ(-)と順序同型になる。 納得できました。どうもありがとうございました。 > (ii) > 冗長な書き方だと思うけど、特に間違いはないかな。 > 簡略に書けば、Aが全順序で整列でなければ(i)からZ(-)⊂Aで、 > Z(-)が整列でない可算な部分集合になるから背理法で示せるね。 ありがとうございます。

関連するQ&A

  • 実数の整列化について

     大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は 「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。(整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合)」 という内容でした。  さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません(例えば開区間は最小数を持ちません)。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です。  それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください。

  • 順序集合

    自然数の順序集合(N,|)について A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}に対し,n|m⇔∃k[m=nk](nはmの約数)の順序関係のもとでAの最大元,最小元,極大元,極小元,上限,下限を求めよ(存在しない場合は「存在しない」と解答) 最大元:存在しない,最小元:1,極大元:6,7,8,9,10,極小元:1,上限:2520,下限:1・・・参考書をいろいろ読んで考えたのですが、最大元~下限の各語句の意味があまり理解できず答えに自信がないので、なぜそれが答えなのかと聞かれた場合きちんと説明ができません。どなたか詳しく説明してもらえないでしょうか

  • 整列可能定理について

    (整列可能定理) Aを任意の集合とするとき、Aに適当な順序≦を定義して、(A,≦)を整列集合とすることができる。 (順序) 1.Aのすべての元aに対してaOa 2.Aの元a,bに対し   aOb, bOa, ⇒ a=b 3.Aの元a,b,cに対し   aOb, bOc, ⇒ aOc の3つを満たすとき、OをAにおける順序という。 と、松阪先生の集合・位相入門に記載されています。 整列可能定理についてWebで検索しているときに、「開区間(0,1)のような連続体濃度card(R)を持つ集合については具体的な順序のイメージを得るのは不可能」のような事が随所に書かれていました。 その話を友人としていたところ、  「開区間(0,1)について、1/2からの距離の大小について順序を決めれば全順序となり整列集合になるんじゃないの?」 と言われました。 これだと、例えば相違なる2元0.25と0.75は同じとなりますが、上の順序の定義に立ち返ってみてもこれは問題なく、開区間(0,1)のすべての元が見事整列しているように思えます。 すると、Webで見た「具体的な順序のイメージを得るのは不可能」という意見と整合性がとれず悩んでしまいました。 なにかこの順序の入れ方に間違いがありますでしょうか? ご指摘いただけますようお願い致します。

  • 集合の包含関係について

    よろしくお願い致します。 集合Xの部分集合A,Bに対して定義される包含関係A⊂Bは べき集合2^X上の順序関係を定める。 このとき 1 (2^X,⊂)は半順序集合になる 2 |X|≧2なら(2^X,⊂)は全順序集合ではない この2つの証明が分からなく困っています。 どうぞよろしくお願い致します。

  • Zornの補題の意味は何?

    Zornの補題の意味についての質問ですが、Zornの補題:順序集合Aの任意の全順序部分集合が有界ならぼ、Aは極大元を持つ、というのが、数学の教科書に載ってますが、意味がさっぱり分かりません。その理由を言えば、例えば、実数の区間Aとして、実数体Rの部分集合である、全順序集合{x|x is a real number, 0<x<2}をとれば、Aの任意の全順序部分集合は有界なので、Zornの補題より、Aには極大元(よって、この場合、最大値)が有る事になりますが、あきらかに、Aには極大元(最大値)はありません。私の考えではこのような矛盾が出てきてしまうので、Zornの補題の意味がわかりません。何か、その意味を勘違いしてるのでしょうか?教えてください。

  • 離散数学の半順序集合に関する問題

    離散数学の半順序集合に関する問題 離散数学の問題が解けずに困っています。 以下の問題を詳しく解説を交えて解いていただけるとありがたいです。 Aを集合とするとき、半順序集合(P(A),⊆)について、次の(1)(2)に答えよ。 (1)X,Y∈P(A)の上限、下限をそれぞれsup{X,Y}、inf{X,Y}とする。 このとき、sup{X,Y}=X∪Y      inf{X,Y}=X∩Y をそれぞれ証明せよ。 (2)半順序集合(P(A),⊆)は束であるかどうか述べよ。 以上です。よろしくお願いします。

  • この場合,Cauchy列が有界となる理由は?

    宜しくお願い致します。 最下の命題の証明でCauchy列が有界となる理由がわかりません。 [定義-3]順序集合(A,≦')の部分集合Bに於いて、{b∈B ;∀x∈B,b≦'x}≠φの時、 {b∈B;∀x∈B,b≦'x}:単集合となる{b∈B ;∀x∈B,b≦'x}のただ一つの元bをminBと表記し、(A,≦')に於けるBの最小元と言う。 [定義-2]順序集合(A,≦')の部分集合Bに於いて、{a∈A ;∀x∈B,x≦'a}≠φの時、 {a∈A ;x∈B⇒x≦'a}の元を(A,≦')に於けるBの上界と言う。 [定義-1] 順序集合(A,≦')に於いて、Aの部分集合Bに於ける上界が存在する時、Bは(A,≦')の中で上に有界であると言う。 [定義0] 順序集合(A,≦')に於いて、Aの部分集合Bに於ける上界が存在する時、その上界の集合の最小限をBの上限といい,supBと書く。 [定義1] 数列{a_n}のある部分列がaに収束する時,このaを数列{a_n}の集積値という。 [定義2] 順序集合(A,≦')が完備 ⇔ (i) (A⊃)Bが上に有界ならば∃supB∈A (ii) (A⊃)Bが下に有界ならば∃infB∈A [命題1](Weierstrassの定理) 有界な数列には少なくとも1つの集積値が存在する。 [命題2] 数列{a_n}が収束する ⇔ (i) {a_n}が有界 (ii) {a_n}の集積値は唯一つ [命題3] 順序集合(A,≦')を距離空間(その距離をdとする)とする。Aが完備ならばAの任意のCauchy列{c_n}はlim[n→∞]c_n∈A. を示しています。 [証] Cauchy列の定義から0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n∈N⇒d(c_m,c_n)<ε {c_n}は有界(∵?)。 従って,sup{c_n}∈A,inf{c_n}∈A(∵定義2) これから{c_n}は有界と言えるから,{c_n}は収束する (∵唯1つの集積値が存在する (∵{c_n}には少なくとも1つの集積値が存在するから(命題1), {c_n}の集積値が2つあったと仮定し,その集積値をa,bとする。 {c_n}の部分列{a_n}がaに収束,部分列{b_n}がbに収束。 収束の定義から夫々 0<ε'∈R,∃M'∈N;M'<k⇒|a_k-a|<ε' 0<ε'∈R,∃M"∈N;M"<h⇒|b_h-b|<ε' ところが |a-b|=|(a-a_k)-(b-b_h)+(a_k-b_h)| ≦|a-a_k|+|b-b_h|+|a_k-b_h|<2ε'+|a_k-b_h| ∴ |a_k-b_h|>|a-b|-2ε' これはmax{M',M"}<∀k,h∈Nに対しても|a_k-b_h|>|a-b|-2ε'となってしまう事を意味しているので ここでε':=|a-b|/4と採ってしまうと, ∃M∈N;M<k,h∈N⇒|a_k-b_h|>|a-b|/2 となり,Cauchy列の定義に反する) よって命題2) そして,{c_n}の収束値をcとするとc∈A (∵c∈A^cだと仮定してみると今,lim[n→∞]c_n=cなので 0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m∈N⇒d(c_m,c)<εと書ける筈だが書けない(∵dはAでしか定義されてない)) 、、、と示せると思うのですが2行目「{c_n}が有界」の理由がわかりません。 d(c_m,c_n)<εからどうすれば{c_n}が有界である事が言えますでしょうか?

  • 整列集合を添数集合とする任意の互いに素な整列集合の族も整列?

    下記の問題(2)で質問なのですが… (1) Let A_1 and A_2 be disjoint sets, well-ordered by <' and <", respectively. Define an order relation on A_1∪A_2 by letting a<b either if a,b∈A_1 and a<' b,or if a,b∈A_2 and a <" b,or if a∈A_1 and b∈A_2.Show that this is a well-ordering. (2) Generalize (1) to an arbitrary family of disjoint well-ordered sets, indexed by a well-ordered set. 「(1) A_1とA_2を整列集合で互いに素とする。それぞれの順序<'と<"とする。 A_1∪A_2の順序<をa,b∈A_1∪A_2がa∈A_1,b∈A_2の時,a<bとし,a,b∈A_1ならa<bはa<'bの意味とし,a,b∈A_2ならa<bはa<"bの意味とする。この時、A_1∪A_2は整列となる事を示せ。 (2) (1)を整列集合を添数集合とする任意の互いに素な整列集合の族に一般化せよ。」 [(1)の証明] ∀B⊂A_1∪A_2に対し,B⊂A_iなら∃minB(∵A_iは整列) (i=1,2) B∩A_1≠φ且つB∩A_2≠φならば∃minB∩A_1,∃minB∩A_2なので minB:=min{minB∩A_1,minB∩A_2}と採ればよい。 で大丈夫かと思います。 [(2)の証明] 整列な添数集合をNとしA_i(i∈N)の順序を <_i とすると B∩A_i≠φ(i∈N)の時,集合{minB∩A_1,minB∩A_2,…}には最小元があるとは限りませんよね。 (2)はどのようにして示せばいいのでしょうか?

  • 順序集合について…

    Aが全順序集合ならば、Aの最大元と極大元の最小元と極小元の概念は一致することを示せ。 という問題なのですが、 つまり最大元(最小元)⇒極大元(極小元)これは、定義より当たり前なので 極大元(極小元)⇒最大元(最小元)これを示せばいんですよね。 ここが問題で、私にはこの最大元(最小元)と極大元(極小元)の違いがよく分かりません。詳しく教えてくれませんか?

  • 凸包と凸錐の命題証明が出来ません

    こんにちは。宜しくお願い致します。 次の二つの命題が証明できません。 [定義1]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸集合Cを凸包といい,このCをco(B)と表す。 [定義2]R^nの部分集合Bが次の2条件を満たす時,Bを凸錐という。 (i) x∈B,λ≧0⇒λx∈B (ii) x,y∈B⇒x+y∈B [命題1](R^n⊃)Bを有限集合B={b_1,b_2,…,b_n}とする時,co(B)={Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1} [証] co(B)=∩[C∈{C;B⊂C,Cは凸集合}]Cであり,これを使って証明するとかとも思いましたが co(B)⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事と co(B)⊃{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事にどうやって持っていけばいいのかわかりません。夫々どのようにして示せるのでしょうか? [命題2]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸錐B~が存在する。 [証] これはどのような集合をB~を採ればいいのでしょうか?

専門家に質問してみよう