順序対について

質問

こんにちは．2年ほど前に分からないまま過ごしてきた
問題でしたが，また再び再燃してしましました．もう決着をつけたいのでお願いします．

順序対（a,b）≡　{{a}, {a,b}}

をこのように定義すれば，次の順序性が証明できるとあります．

つまり，
（a,b）=(c,d) ならば，a=c かつ　b=d
また，
a≠b ならば，(a,b)≠(b,a)

宜しくお願いします．

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

これよりも前の「直積集合の定義」の話は
これが分かってないと厳しいように思います．
ZFの話でいいんですよね．
集合を
ZFの中の「対の公理」
「x, yに対して，x と y のみを元とする集合が存在する。」
はご承知ですか？
ちょっといい加減に記号化すると
x,y に対してZ={x,y}となる集合が存在するというやつです．

さて，aに対して，{a}という集合が存在します
（これは対の公理でx=y=aとした場合）．
さらに，aとbに対して，{a,b}が存在し（対の公理），
今度は{a}と{a,b}に対して，対の公理を適用して
{ {a}, {a,b} } が存在します．
これを (a,b) と書き順序対というわけです．

やっと問題に到達しました．
全部，ZFの公理のみで証明できて
どれがどの公理を根拠とするかは書けるのですが
ほとんどが外延公理と対の公理で，うるさいだけなので
省きます．

(1) 「(a,b)=(c,d)」 ならば 「a=c かつ b=d」
(a,b)=(c,d) と仮定する，つまり
{ {a}, {a,b} } = { {c}, {c,d} } ・・・(I)
です．
さて，ここで a ≠ c と仮定します．
すると，{a} ≠ {c} です．
よって(I)より {a} = {c,d} です
c ∈ {c,d} = {a} となるので c=aとなり，これは矛盾
よって，a=c です，

つぎに，b ≠ d と仮定します．
(I)および a=c より {a,b} = {c,d} です．
b ∈ {a,b} = {c,d} です．
ここで，もし c = d であるならば，
b ∈ {a,b} = {c,d} = {d}なので b = d となり矛盾
したがって，c ≠ d です．
ここで，
b ∈ {a,b} = {c,d}，c ≠ d， b ≠ d なので
b = c となります．ところが，すでに a = c を示した
a = b です．
つまり，{a} = {a,b} = {c,d}，つまり，c=d で矛盾です．
したがって，b = d となります．

(2) a≠b ならば，(a,b)≠(b,a)
これは(1)から明らかです。対偶をとる．もしくは背理法．

久しぶりに公理的集合論をかんがえたので
何か抜けてるかもしれませんが，流れはこんな感じです．

ちなみに，a=b，c=dのケースもあるので単純な
「個数比較」ではできません．

お礼

こちらの質問にも答えていただいてありがとうございます．
とっても分かりやすい説明でした．

回答No.1

mmk2000

ぜんぜん厳密ではないので勘で申し訳ないのですが、

（a,b）=(c,d) ⇔{{a}, {a,b}}＝{{c}, {c,d}}
両辺の集合ともに2つの集合からなる集合。
濃度はそれぞれ１と２の集合からなっている。
濃度１の集合は濃度１の集合と等しく、
両辺の集合ともに濃度１の集合はただひとつしかないから{a}＝{c}つまりa=c
また{a,b}＝{c,d}でa=cだからb=d

a≠bの場合も同様ではないでしょうか？
自分の考えでは要素１つの集合と2つの集合が一致することはありえない、という考えからきてますが…

お礼

いえいえ，色んな考えから証明も可能なんだなって思いました．
とても感謝しています．