掛け算の順序について

質問

掛け算の順序問題があるという話を聞きました。

『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。この時の「2×4」に対するyを答えよ』と言う問題があったとします。

この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？

私は「10」の一つだけだと思っていますが、数学的に正しい解答はどうなるのでしょうか？
特に「掛け算には順序が無い」という方の意見が聞きたいと思いますので、よろしくお願いいたします。

回答No.28

miso_kasu

>#3さんの回答が一番私の考えに近いものですので、参考にしてください。
もう1度質問文を読み返して「掛け算の交換法則」に当てはめてy=a×(b+1)=10になることを確認します。
『この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？』
a=2、b=4
y=a×(b+1)=a×b+a×1=2×4+2×1=8+2=10
掛け算の交換法則で被乗数と乗数の値を交換しますと
y=a×(b+1)=a×b+a×1=4×2+1×2=8+2=10
元の式であるy=a×(b+1)の乗数が括弧で括られていますので展開し、a×b+a×1に置き換えます。その後、2つの掛け算（a×bとa×1）の其々の被乗数と乗数を交換して積（yの値）を求めれば同じになります。
「掛け算の順序問題」は「被乗数×乗数=積と言う数式で被乗数と乗数の値を交換したときに積の値は同じでも数式の意味合いが異なるので言葉での設問に対して被乗数を左側に、乗数を右側に書かないと積の値が正しくても減点になる」と言う論法です。
「掛け算の交換法則」が正しく処理されていても「掛け算の順序問題」は別次元で判断されます。
あなたの質問文の『この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？」に対しては回答が1つでy=10になります。（「4×(2+1)=4×3=12」は数式の扱い方に誤りがあります）

補足

再掲

あなたには最後の最後まで
『「2×4」 → 「a=2、b=4」と解釈 → 「a×(b+1)」に「a=2、b=4」を代入』や
『「2×4」 → 「4×2」 →「a=4、b=2」と解釈 → 「a×(b+1)」に「a=4、b=2」を代入』という処理の流れが理解できなかったようですね。

あなたの意見は何の参考にもなりませんので、もうこれ以上無理に回答していただかなくても結構です。

回答No.27

miso_kasu

>何の意味があるか分かりませんが、「2×4」は「A×B」に対応することになりますね。
そう言うことでしたか。
でしたら、「y=A×B=a×(b+1)=2×(3+1)=2×4=8」です。
また、「y=B×A=(b+1)×a=(3+1)×2=4×2=8」になりますので「A×B=2×4」と「B×A=4×2」なので「A×B=B×A=4×2=2×4=8」が成立して「掛け算の順序問題」は「被乗数×乗数」=「乗数×被乗数」として良い。

>「y=a×(b+1)」は、以前のあなたの解答「10」から変更となり、今回「y=a×(b+1)=2×4=8」となるいうことですね。
そうです。
「y=a×(b+1)=2×(4+1)=2×5=10」はあなたが提示した計算なので何故「2×(4+1)」になるかが回答No.25 まで分かりませんでした。
「A×B」のAとBを交換することは四則演算の規則にかなっていますが「a×(b+1)」のaとbを交換することは四則演算の規則に反しています。
つまり、「2×(4+1)」の2と4を交換出来ないということです。
「2×(4+1)」の2と4の交換は「掛け算の順序問題」と関係ありません。
尚、「A×B=2×4=2×(3+1)」の2と3を交換することもできません。

>なぜ入替理由の「単位の無い無次元数の「2×4」の被乗数と乗数を入れ替えて「4×2」とみれば「a=4、b=2」となるのではないですか？」を無視するのでしょうか？
「A×B=B×A」（但し、A=a、B=(b+1)）を「2×4=4×2」であることから「a×(b+1)」のa=2、b=4のように入れ替えて「2×(4+1)？4×(2+1)」と言う発想になることはあなたの独特な解釈であり四則演算の規則に合っていません。
そのため納得ができるように質問を繰返しました。（無視したのではありません）

補足

回答ありがとうございます。

>「y=a×(b+1)=2×(4+1)=2×5=10」はあなたが提示した計算なので何故「2×(4+1)」になるかが回答No.25 まで分かりませんでした。

分からないのに回答するのは迷惑ですので止めてください。

あなたは、他の回答者さんとのやり取りは全く見ていないようですね。
#3さんの回答が一番私の考えに近いものですので、参考にしてください。

>「A×B=B×A」（但し、A=a、B=(b+1)）を「2×4=4×2」であることから「a×(b+1)」のa=2、b=4のように入れ替えて「2×(4+1)？4×(2+1)」と言う発想になることはあなたの独特な解釈であり四則演算の規則に合っていません。

あなたには最後の最後まで
『「2×4」 → 「a=2、b=4」と解釈 → 「a×(b+1)」に「a=2、b=4」を代入』や
『「2×4」 → 「4×2」 →「a=4、b=2」と解釈 → 「a×(b+1)」に「a=4、b=2」を代入』という処理の流れが理解できなかったようですね。

>>「y=a×(b+1)」は、以前のあなたの解答「10」から変更となり、今回「y=a×(b+1)=2×4=8」となるいうことですね。
>そうです。

あなたの回答をまとめます。
『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。この時の「2×4」に対するyを答えよ』に対するあなたの解答「y=8」
『「b×a」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。この時の「2×4」に対するyを答えよ』に対するあなたの解答「y=8」

この問題で「8」と解答したのは、あなただけ、です。
他の方の回答はそれなりに「なるほど」と思えるのですが、あなたの回答はさっぱり理解できません。
あなたの意見は何の参考にもなりませんので、もうこれ以上無理に回答していただかなくても結構です。

回答No.26

miso_kasu

Q1、『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。』と『「b×a」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。』は同じことを表していると思いますか？
A1、混乱を防ぐために「a×b」の変数名を変えて「A×B」とさせてください。
「y=a×(b+1)」は「A=a、B=(b+1)」とすれば「y=A×B=a×(b+1)」と「y=B×A=(b+1)×a=a×(b+1)」が成り立ちますので同じと言う結果になります。

Q2、理由も添えて回答をお願いします。
A2、「a×b」と「y=a×(b+1)」の関連性の説明がなく質疑応答の中で「a×b」のbと「y=a×(b+1)」のbを「b=b」として扱っているように感じます。
A1の回答で数式モデルとなる「a×b」を「A×B」と置き替えさせて頂かないとあなたに理解できないのかも知れません。
A=a、B=(b+1)と言う前提条件を認めて頂ければ「掛け算の交換法則」でAとBを交換することは良いのですが、aとbは交換できません。
従って、質問文の『「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」』は「掛け算の交換法則」に因らない値の入替なので入替理由の提示が無ければ判断できません。（掛け算の順序問題に載せられない）

補足

回答ありがとうございます。

>A1、混乱を防ぐために「a×b」の変数名を変えて「A×B」とさせてください。

何の意味があるか分かりませんが、「2×4」は「A×B」に対応することになりますね。

>A1、同じと言う結果になります。

まさかあなたからこのような回答があるとは思いませんでした。
あなたにとっては、「2×4」と「a×b」の対比から得られるa,bの値と、「2×4」と「b×a」の対比から得られるa,bの値は同じなのですね。

>A2、「a×b」と「y=a×(b+1)」の関連性の説明がなく質疑応答の中で「a×b」のbと「y=a×(b+1)」のbを「b=b」として扱っているように感じます。

「b=b」として扱うのは当然だと思うのですが、あなたは「x=a×b、y=a×(b+1)の時、y-xを答えよ」のような問題でも関連性の説明がないので答えられないと言うのでしょうか。
そもそもあなたが「b=b」とせず「y=10」と答えたというなら、あなたの論理は破綻していることになるのではないでしょうか。
今回の話は、「y-x=a」であり、いわゆる「乗数が1増加すると被乗数a分だけ値が増加する」という関係を表している、とも言えます。

>A=a、B=(b+1)と言う前提条件を認めて頂ければ

あなたが何を言っているか分からないのですが、「2×4」は「A×B」に対応する訳ですから、「y=a×(b+1)」は、以前のあなたの解答「10」から変更となり、今回「y=a×(b+1)=2×4=8」となるいうことですね。

>従って、質問文の『「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」』は「掛け算の交換法則」に因らない値の入替なので入替理由の提示が無ければ判断できません。

何度も何度も「入替理由の提示」をしているはずですが、なぜ入替理由の「単位の無い無次元数の「2×4」の被乗数と乗数を入れ替えて「4×2」とみれば「a=4、b=2」となるのではないですか？」を無視するのでしょうか？

あなたの回答は支離滅裂で何を言っているか分からず、何の参考にもなりませんので、もうこれ以上無理に回答していただかなくても結構です。

回答No.25

miso_kasu

回答No.24の表現が身勝手であったかも知れませんので再考しました。

>私は「2×4」についての矛盾の話をしており、「a×(b+1)」の話はまた別問題であることがご理解頂けませんか？
「2×4=4×2」を単独で考えれば矛盾はありません。
勿論、「a×b=b×a」も乗法の交換法則に適合しています。

>「2×4」は「被乗数と乗数を入れ替えても全く問題ありません」の対象外なのでしょうか。
「被乗数(2)×乗数(4)を4×2に交換」を対象外とは言っていません。
単純な2項の乗算であれば被乗数×乗数の交換で間違いを侵すことはありません。
乗数が括弧つきの加減算の場合にはa、b等の変数へ実数（2、4）を代入するときに注意が必要です。（被乗数が括弧つき加減算のときも同じ）

質問の文言に戻って考え直すための基礎的な問題点を分かり易く説明して頂ければ幸いです。
『この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？』に対しては何処かに誤りがあると思います。
「2×4」を「2×(4+1)」に置き換えることと「4×2」を「4×(2+1)」に置き換えることは同じではありませんので回答が2通りになると思います。
この問題は「掛け算の順序問題」や「乗法の交換法則」と関係のないことです。

補足

回答ありがとうございます。

>「2×4=4×2」を単独で考えれば矛盾はありません。

あなたとは話が全く通じませんね。
なぜ「単位の無い無次元数の「2×4」の被乗数と乗数を入れ替えて「4×2」とみれば「a=4、b=2」となるのではないですか？」を無視するのでしょうか？
私にはあなたが主張の矛盾を認めたくないため話題を逸らしているようにしか見えません。

>乗数が括弧つきの加減算の場合にはa、b等の変数へ実数（2、4）を代入するときに注意が必要です。（被乗数が括弧つき加減算のときも同じ）

上記「「a=4、b=2」となるのではないですか？」を無視して「a、b等の変数へ実数（2、4）を代入する」と言われても何の意味もありません。

>質問の文言に戻って考え直すための基礎的な問題点を分かり易く説明して頂ければ幸いです。

あなたはどう解釈しますか？と、私があなたに聞いている、という話です。
あなたが、分からない、というならあなたからの回答は必要ない、ということです。

>「2×4」を「2×(4+1)」に置き換えることと「4×2」を「4×(2+1)」に置き換えることは同じではありませんので回答が2通りになると思います。

何を言っているか全く分からないのですが、『「2×4」を「2×(4+1)」に置き換える』という話がどこから出てきたのでしょうか？

>この問題は「掛け算の順序問題」や「乗法の交換法則」と関係のないことです。

あなたが混乱していることが「掛け算の順序問題」に関係ある証拠でしょう。

「掛け算の順序」をあなたがどう捉えているか、あなたに確認しておきます。
『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。』と『「b×a」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。』は同じことを表していると思いますか？
理由も添えて回答をお願いします。

回答No.24

miso_kasu

>私は「2×4」についての矛盾の話をしており、「a×(b+1)」の話はまた別問題であることがご理解頂けませんか？
「2×4=4×2=8」に矛盾はありません。
しかし、「a×(b+1)」を引き合いにして「2×(4+1)」を「4×(2+1)」に置き換える論法は理解できません。
然も、「掛け算の順序問題」に「a×(b+1)」と言う式を絡めることも無意味のように思われます。
あなたの考え方と私の考え方の違いを添付画像のように描いてみました。
尚、「a（被乗数）×b（乗数）=積」であって、被乗数と乗数を入れ替えても積の値は変わらないというのが「乗数の交換法則」なので「a×(b+1)」の被乗数は(b+1)でありaの値とbの値だけを交換すると法則に反する結果になります。

補足

回答ありがとうございます。

>しかし、「a×(b+1)」を引き合いにして「2×(4+1)」を「4×(2+1)」に置き換える論法は理解できません。

私は『「a×(b+1)」の話はまた別問題である』と言ったにもかかわらず「a×(b+1)」にいつまでも固執するあなたの理解力に疑問を感じます。
私は単に、単位の無い無次元数の「2×4」の被乗数と乗数を入れ替えて「4×2」とみれば「a=4、b=2」となるのではないですか？と言っているだけなのですが。
これは正に#23さんの回答と同じ見解になり、結局「複数の解答がある」という意見になるはずだ思います。

>然も、「掛け算の順序問題」に「a×(b+1)」と言う式を絡めることも無意味のように思われます。

いいえ。掛け算に順序がないと認識している方なら、『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。』と『「b×a」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。』は同じ状況であり同じ問題だと認識すると思います。
そこに「2×4」を与えれば、解答が一つであれば掛け算に順序があること、複数なら掛け算に順序はないことの確認になるでしょう。

結局のところ、あなたと意思疎通する自信は全くありませんので「全く参考にならなかった」と判断させていただきます。

回答No.23

178-tall

実は、当方には「争点」が読みとれてません。

>『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する…

前者「a×b」では a, b に関して可換律が成立。
すなわち a×b = b×a 。

後者「y=a×(b+1)」では a, b に関して可換律が成立しない場合あり。
すなわち a×(b+1)≠(a+1)×b になるケースがある。

こう考えると、後者には「複数の解答がある」ということになります。

補足

回答ありがとうございます。

>実は、当方には「争点」が読みとれてません。

「掛け算の順序問題」についてのご意見がいただければと思います。

>前者「a×b」では a, b に関して可換律が成立。すなわち a×b = b×a 。

あなたは可換律を「a×b = b×a」という「数式」でしか見たことがないのではありませんか？「a×b」と「b×a」とは同じ意味の式だと思っていませんか？
例えば以下のwikipediaでは「交換法則」を、「言葉」で「与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらない」と記述され「結果が変わらない」としています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87
つまり、wikipediaによれば、「a×b=b×a」は、「a×b」と「b×a」とは計算結果は同じ、であり、式の意味には言及していない、ということになります。
そして、一般的に二項演算は集合Aの直積A×Aの要素である順序対(a,b)に対して定義するものであり、順序持つ「a×b」「b×a」はそれぞれ意味が異なることになります。
義務教育においてもwikipediaと同じ解釈になります。
この場合は、「2×4」と「4×2」は意味が異なりますから、問題に提示されている「2×4」からは「a=2、b=4」のみを読み取ることになるかと思います。

あなたは掛け算を『通常の「2 数 {a, b} の積」a×b 』と認識しているようですが、一般とは、少なくともwikipediaとはズレた認識だということだと思います。
あなたの定義に従うのであれば「複数の解答がある」でよいと思います。
「掛け算の順序問題」の観点で言えば、拠り所としている定義が異なる、と言ったところでしょうか。

回答No.22

miso_kasu

>単位の無い無次元数の「2×4」の被乗数と乗数を入れ替えて「4×2」とみれば「a=4、b=2」となり「4×(2+1)=4×3=12」となります。
『「a×(b+1)」を「乗法の交換法則」を使って「◯×△=△×◯」に置き換えてみると「a×(b+1)=(b+1)×a」になりますのでa=2、b=4を代入すると「2×(4+1)=(4+1)×2」となります。』がご理解頂けませんか？
元の数式である「y=a×(b+1)」に「a=2、b=4」を代入した場合と「a=4、b=2」を代入した場合は「乗法の交換法則」と異なることを理解して頂けないと本題の「掛け算の順序問題」に移れませんよね？
あなたの論法と私の回答の違いは「乗法の交換法則」の部分だけと思います。
本題は「掛け算の順序問題」でしたよね？
「掛け算の順序問題」を棚上げして「乗法の交換法則」に的を絞った意見交換しましょうか？

補足

回答ありがとうございます。

>『「a×(b+1)」を「乗法の交換法則」を使って「◯×△=△×◯」に置き換えてみると「a×(b+1)=(b+1)×a」になりますのでa=2、b=4を代入すると「2×(4+1)=(4+1)×2」となります。』がご理解頂けませんか？

私は「2×4」についての矛盾の話をしており、「a×(b+1)」の話はまた別問題であることがご理解頂けませんか？
私にはあなたのルールがよく分かりませんが「2×4」は「被乗数と乗数を入れ替えても全く問題ありません」の対象外なのでしょうか。

回答No.21

178-tall

錯誤を訂正。

0≠a≠b のケースにて {a, b} の順序を入れ替えたとき、
　前者内では結果値は不変だが
　後者内では結果値が変化する
のは数学的に当然。

回答No.20

178-tall

(題意？) 通常の「2 数 {a, b} の積」a×b に対応して、y = a×(b+1) なる算式を指定する …？

a≠b のケースにて {a, b} の順序を入れ替えたとき、
　前者内では結果値は不変だが
　後者内では結果値が変化する
のは数学的に当然。

y に 2 つの結果を許容するか否かは予め定義しておくべき … なのでは？

補足

回答ありがとうございます。

>(題意？) 通常の「2 数 {a, b} の積」a×b に対応して、y = a×(b+1) なる算式を指定する …？

二項演算は一般的には、集合Aの直積A×Aの要素である順序対(a,b)に対して写像fを施す場合にf(a,b)と書くことになります。
あなたの認識では2要素をもつ集合{a,b}に写像fを施すことになりますのでf{a,b}とでも書くことになるのでしょうか。

あなたが「f{a,b}」という定義を想定されているならそれでも構いませんが、他の方は「f(a,b)」の方の表記、つまり順序ありで認識しているようです。

回答No.19

miso_kasu

>少なくともこのテーマに沿った意見を聞きたいものです。
当初の質問文を読み返して再考してみます。

>この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？
『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。この時の「2×4」に対するyを答えよ』と言う設問なので「2×(4+1)=2×5=10」は良いのですが「4×(2+1)=4×3=12」は「y=a×(b+1)」のaとbへの代入が「2×4=4×2」の考え方に適合しません。

>私は「10」の一つだけだと思っていますが、数学的に正しい解答はどうなるのでしょうか？
「乗法の交換法則」で正しい数式にすれば「◯×△=△×◯」=「2×5=5×2」に導けます。
「a×(b+1)」を「乗法の交換法則」を使って「◯×△=△×◯」に置き換えてみると「a×(b+1)=(b+1)×a」になりますのでa=2、b=4を代入すると「2×(4+1)=(4+1)×2」となります。
従って、あなたが思っている『「10」の一つだけ』が正しいことになります。

>特に「掛け算には順序が無い」という方の意見が聞きたい
掛け算の順序問題は「乗法の交換法則」を理解した上で論じられていますが、教育の現場で「被乗数と乗数を入れ替えたときに積の単位を誤る可能性があるので順序を変えてはいけない」という論法があるようです。
単位の無い無次元数の場合や単位を併記する計算では被乗数と乗数を入れ替えても全く問題ありません。
添付画像は或るサイトに載っている一文です。（参考になれば幸いです）

補足

回答ありがとうございます。

>従って、あなたが思っている『「10」の一つだけ』が正しいことになります。
>単位の無い無次元数の場合や単位を併記する計算では被乗数と乗数を入れ替えても全く問題ありません。

単位の無い無次元数の「2×4」の被乗数と乗数を入れ替えて「4×2」とみれば「a=4、b=2」となり「4×(2+1)=4×3=12」となります。
上記のあなたの２つの文章は矛盾するように思うのですがいかがでしょうか。