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順序を保つ写像
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X=Y={(a,b);a,bは実数}とし、実数上の普通の順序≦を使って、 (a,b),(c,d)∈Xに対して(a,b)<(c,d)を「d-b≦c-aかつb≦d」で定義し、 (a,b),(c,d)∈Yに対して(a,b)<<(c,d)を「a≦cかつb≦d」で定義します。 fをXからYへの恒等写像とします。 (X,<)と(Y,<<)がそれぞれ半順序集合になっていることを確認してみて ください。 任意の(a,b),(c,d)∈Xに対して (a,b)<(c,d)ならばa≦c+(b-d)≦cより(a,b)<<(c,d)です。 すなわちfは順序を保ちます。 しかし、たとえば(0,0)<<(0,1)ですが1-0≦0-0は成り立たないので (0,0)<(0,1)ではありません。 すなわちf^(-1)は順序を保ちません。 以下おまけ。 P={(a,b)∈X;(0;0)<(a,b)} Q={(a,b)∈Y;(0,0)<<(a,b)} とおくと、(a,b)<(c,d)⇔(c-a,d-b)∈P, (a,b)<<(c,d)⇔(c-a,d-b)∈Q であり、P⊂QかつP≠Qとなっています。 こういうPやQを使っていくらでも別の例が作れます。 実数の組を整数の組に変えても、組の数を増やしても同様です。
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
例: X : 整数の集合で、偶数元どうしの間にだけ、 普通の整数と同じ順序が定義されている。 Y : 整数の集合で、順序も普通の整数と同じ。 f : X から Y への恒等写像。 Y 上の 1, 2 の f による逆像は X 上の 1, 2 ですが、 1<<2 であるにも関わらず、 1<2 ではありません。 X では、奇数 1 は大小比較できないからです。
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