順序対（ｘ，ｙ）の定義の記号について

質問

こんにちは．順序対について質問します．

順序対を求めることは，分かるのですが，下記の順序対の定義の意味がわかりません．

ｘ，yの順序対の定義は，
（ｘ，ｙ）≡｛｛ｘ｝，｛ｘ，ｙ｝｝
と定義されます．

たとえば，
X=｛a,b｝,Y={c}という集合である場合，
順序対X*Y＝｛（a,c）,（b,c）}となりますが，

この定義は，どのように解釈すればよいのでしょうか？

（前提）
集合X,Yの2つの要素ｘ∈X，ｙ∈Yについて，｛ｘ，ｙ｝は集合となる．また，｛ｘ｝＝｛ｘ，ｘ｝も集合となるので，｛｛ｘ｝，｛ｘ，ｙ｝｝も集合となる．

回答No.7

yumisamisiidesu · ベストアンサー

こんばんわ、あれから、いろいろ考えてみたんですが
(a,b)={{a,b}{a}} は直感的にも理解できるかと思います
集合論で自然数を定義したあと
再帰的に
(a1,・・・,a(n+1)):={(a1,・・・,an),{(a1,・・・,an),a(n+1)}} と定義できると思います
ですが、あまりこのような話は聞きません
もう、一般的に任意有限の順序対では{1,・・・,n}からの写像で定義しているような気がします(ex R^nの定義)
ただ、構造的には、同等だろうから基礎論にこだわらない
解析学などでは、OKということなんでしょうか？

(以下の部分自信全くなしでお願いします)
これをもっと拡張して任意濃度の順序対なるものを考えることはやはり、写像による定義でないと難しいかもしれません．

お礼

なんどもお付き合いいただきまして，ありがとうございます．頭が下がります．

確かに，その順序対の定義を前提にして，順序対（　，）を利用した再帰的な方法で考えることで幾分か自然数の大きさという観点から，序列が見えてきそうですね．

ただ，順序対を受け入れなければならないという前提が必要となりますね．
いきなりの直感的解釈は難しいようですね．

回答No.10

jmh

> 勝手に思ってはいけない
>
順序対というモノが存在するという定理の証明だと思うと、（ｘ，ｙ）＝｛｛ｘ｝，｛ｘ，ｙ｝｝が定義であると思うよりも、一般性が増すと思います。

お礼

お礼が遅くなりました．追記のご説明どうもありがとうございました．

この場をお借りして，皆様にもう一度お礼をさせていただきます．ありがとうございました．

まだ，謎というのが正直な感想ですが，いろいろな角度から再検討ができましたので，たいへん有意義な時間をすごさせて頂きました．また，質問を見つけたときには，ぜひ回答を寄せていただければ幸いです．

回答No.9

jmh

> どのように解釈すれば…
>
順序対というモノが存在するという定理の証明だと思うのはいかがでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます．

そうですね．思うのはいいのですが，数学はある意味勝手に思ってはいけないためのものですから．
順序対の厳密な照明方法もあって知ってはいますが，数学界で知られているような順序対の定義記号の直感的な記述的解釈が存在すれば，聞いてみたかったのです．

回答No.8

yumisamisiidesu

すいません、No7訂正です
(a1,・・・,a(n+1)):={(a1,・・・,an),{(a1,・・・,an),a(n+1)}} と定義できると思います
を
(a1,・・・,a(n+1)):={(a1,・・・,an),{a1,・・・,an,a(n+1)}} と定義できると思います
に訂正して下さい

お礼

わざわざありがとうございます．

回答No.6

yumisamisiidesu

どのように対等でないと思えばいいか
｛｛ｘ｝，｛ｘ，ｙ｝｝も，｛｛ｘ｝，｛y，x｝｝も
二個使われている文字(この場合x)が左に並ぶ
一個しか使われている文字(この場合y)が右に並ぶ
と解釈できます

お礼

yumisamisiidesuさん，ありがとうございます．

そうですか．

｛｛ｘ｝，｛ｘ，ｙ｝｝も，｛｛ｘ｝，｛y，x｝｝
集合ですから，

｛｛x,y｝，｛ｘ｝｝と｛{y,x}，｛ｘ｝｝に変形可能だと思います．

回答No.5

noname#14584

数学において，「同じか違うかが分かれば良い」という考え方は良く行われます．
この場合にも，この考え方を用いるわけです．
例えば，[1,2,3,4]という並びと，[2,1,3,4]という並びは違って，[1,2,3,4]と[1,2,3,4]は同じだ，ということが分かればよいわけです．

数学の「厳密化」が行われてきた歴史の中で，その根底にあったのはいわゆる集合論でした．この集合論のみによる議論で順序を考えるとどうなるか．そこで生まれた順序を表すものが順序対なのだと思います．

お礼

os21さん，ありがとうございます．
論理式や集合論を利用して，厳密に証明されていますね．

その定義がどうして同じか違うかを表現できているといえるのか．．．直感的には無理なのでしょうか？

回答No.4

yumisamisiidesu

2です
3さまの説明と重なるかもしれませんが
(a,b):={{a},{a,b}}と定義する直感的意義は
{{a},{a,b}}はaとbの扱いが対等でないということを意味できればいいと思います
一方{{a},{b}}では={{b},{a}}となってしまい、a,bが対等的に扱われてしまいます
この対等でない扱いによって順序という区別を生み出していると解釈できると思います

お礼

ありがとうございます．

そうすると，{{a},{a,b}}は，
{{a},{b,a}}とも同じとなると思いますが，
これは，どのようにa,bが対等でないことを解釈すればよろしいのでしょうか？

また，何かわかりましたら，教えていただければ幸いです．

PS　インターネットカフェをでなければなりません．
また明日にお礼申し上げます．

回答No.3

noname#14584

つまり，集合論の範囲で議論をするときには，
例えば，
{x,y}={y,x}となってしまいものの順番に関する概念が表現できません．それで，新たに順序というものを定義しなおさなければならないわけです．
ここで，順序を表す記号(x,y)をx,yからの作用として定義したいのですが，私たちが要請したいのは以下の性質です．
以下の2条件が同値：
1. (x,y)=(z,w)
2. x=z and y=w

この性質を先の順序対( , )は満たしています．
(x,y)=(z,w)⇔{{x},{x,y}}={{z},{z,w}}
これは{a}や{a,b}の定義から明らかですね．

お礼

ありがとうございます．
集合｛ｘ，ｙ｝は，確かにその順序について，なにも表現していませんね．
しかし，その順序をなぜ，{{x},{x,y}}なら，表現できるのか？　

たとえば，
ｘ＝1，ｚ＝2
とすると，順序対の定義では，
｛｛1｝，｛1，2｝｝ですよね．

これが順序を表す定義と言われても分からないのです．

回答No.2

yumisamisiidesu

順序対の本質は以下です
　(a,b)=(c,d) ⇔ a=c,b=d
この性質を成立させたくて(a,b):={{a},{a,b}}としてます

お礼

ありがとうございます．
その(a,b)=(c,d) ⇔ a=c,b=dを証明に，(a,b):={{a},{a,b}}という定義を利用するということですね．

ただ，その定義の直感的解釈ができかねないのです．

直感的解釈がもし存在すれば，それを教えてもらえれば幸いです．

補足

上記補足で，「・・できかねないのです」は，
「できかねるのです」です．へんな日本語を使ってすいません．

回答No.1

yumisamisiidesu

> 順序対X*Y＝｛（a,c）,（b,c）}
でなく正しくは
直積X*Y＝｛（a,c）,（b,c）}
です
直積と順序対は別物です
ここまでは自信ありですが

以下は自信なしで・・・
わたしはご質問を読んで次のようなことなどを疑問に思いました
１．(x,y)=x*yとなる集合はないことの証明
２．ある集合ｘがｘ＝(ａ,b)=c*dと表せるか
３．(a)=aと定義すべきでないことの理由
４．(a,b,c):={{(a,b)},{(a,b),c}}と定義すべきか
など

補足

早々ありがとうございます．
失礼しました．巷のゴールデンウィークで頭がやられたのか，順序対の話なのに，直積をもってきてしまいました．

ただ，この
ｘ，yの順序対の定義は，
（ｘ，ｙ）≡｛｛ｘ｝，｛ｘ，ｙ｝｝と書くことができますが，なぜ？これが，
ｘとｙの順序に対するルールを記述していることになるのか？つまり，ｘを先に書き，ｙを後に書くという順序の公理を表しているか？を教えていただきたいと思っています．