最小公倍数の問題

質問

18とnの最小公倍数が180のとき、すべてのnを求めなさい。

という問題の解き方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.6

noname#227653 · ベストアンサー

最小公倍数を出すときは、図のような計算をしてア×イ×ウで出しますよね。これが180です。
また、18÷ア＝イなのですから、ア×イ＝18です。
すると、ア×イ×ウ＝180の「ア×イ」を18に書き換えて、18×ウ＝180とすることができます。これでウは10だということがわかりますね。
それから、ア×イ＝18なのですからアとイがいくつなのかわかります。、アが１でイが18、アが２でイが９、アが３でイが６、アが６でイが３、アが９でイが２、アが18でイが１、以上の６通りが考えられますね。
ただ、イを１８、６、２にすることはできません。なぜだかわかりますか。例えばイが18だと、ウが10であることは決まっているので、最小公倍数を出すときに18と10を更に２で割らなければならず、最小公倍数が180にならないからです。イが６や２の場合も同じですね。
ということで、イは９、３、１ですから、アは２、６、18です。
そして、ｎ÷ア＝ウ、つまり10ですから、10×ア＝ｎですよね。ということは、ｎは10×２＝20、10×６＝60、10×18＝180、ということになりますね。
以上です。わかりにくいところや間違っているところがあったら補足をつけて下さいね。

お礼

ありがとうございます。とてもわかりやすく助かりました。

回答No.5

shuu_01

あ、180 を忘れてました

Wikipedia で倍数を調べると
倍数
http://ja.wikipedia.org/wiki/倍数

数学において、数 a の倍数（ばいすう、英:multiple）とは、a を整数倍した数、つまり … －3a, －2a , －a, 0, a, 2a, 3a, … のことを指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。b ÷ a が整数ならば、b は a の倍数である。またこのとき a, b を整数とすると、a は b の約数（やくすう）である。

なので １倍も含まれるのですね

うっかり忘れてました

お礼

何度も回答していただいて申し訳ないです。ありがとうございました。

回答No.4

tsuyoshi2004

解き方としては、
１８を素因数分解すると
１８＝２×３×３
１８０を素因数分解すると
１８０＝２×２×３×３×５
です。
それでｎがどのような数なら１８との最小公倍数が１８０になるかとすれば、
１８０の素因数で１８の素因数では足りないものをｎの素因数で補うので、
最低限ｎには２が２個と５が一個の素因数を持つ必要があります。
また、多くても２が２個、３が２個、５が１個の素因数しかありません。

したがってｎは
ｎ＝２×２×５＝２０
ｎ＝２×２×３×５＝６０
ｎ＝２×２×３×３×５＝１８０
の３つです。

お礼

18の素因数にないものだから、nは2×5で十分ではないかと思ってしまいましたが、それだと最小公倍数は180にはなりませんね...ありがとうございます。

回答No.3

shuu_01

最大公約数と最小公倍数
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3gcm1.htm

に詳しい説明、解き方があります

僕は ２番目の 素因数分解を利用して共通な指数を探す方法

で解きました

他にも解き方あるみたいですが、難しくて僕にはわかりません

お礼

ありがとうございます。このサイト、参考にさせていただきます。

回答No.2

shuu_01

またミスタイプしました。書き直します。ごめんなさい

18 = 2 X 3^2
180 = 2^2 X 3^2 X 5

だから、n は 2^2 X 5 は持っていないといけないよね

さらに 3 も持ってても大丈夫なので 2^2 X 3 X 5 も OK

それで答え： n は 20 と 60

回答No.1

shuu_01

18 = 2 X 3^3
180 = 2^2 X 3^2 X 5

だから、n は 2^2 X 5 は持っていないといけないよね

それに 3 も持ってても大丈夫なので 2^2 X 3 X 5 も良さそう

それで答え： n は 20 と 60

ps: 卒業後何年も数学やってないので、自信ありません