公倍数を表す式の求め方。

質問

nは自然数で、
2n-1と3n-1の公倍数を表す式は
6n-1だと思うのですが、（間違ってたら指摘お願いします）

2n-1と3n-1と5n-4の公倍数を表すしきの導き方、
2n-1と3n-2と5n-3と7n-4の公倍数を表す式の導き方がわかりません。

an-1とbn-1のように同じものを引いているのであれば
aとbの最小公倍数をαとするなら、公倍数を表す式は
αn-1になるのかなっと感覚的に思うのですが、

2n-1と3n-2と5n-3と7n-4のように違うものが引かさっているものの
公倍数を表す式を導くにはどのように考えればよいのでしょうか？

わかりにくい文章ですいません。

回答No.5

Tacosan

頑張って不定方程式を解く.

回答No.4

ani-san

↓の回答と同様ですが、公倍数という言い方はおかしいですね。元の数列がそもそも倍数では無いですから。

ここでは、数列の一般項がそれぞれ2n-1 3n-2 5n-3 7n-4(nは自然数)で表される数列に共通する数値、という風に解釈します。

まず2a-1 = 3b-2 = 5c-3 = 7d-4 をみたす自然数a,b,c,dを探します。
おそらく、一番小さいところでa=79,b=53,c=32,d=23となり =157 となります。

後は2,3,5,7の最小公倍数210ずつずらせば割ったときのあまりは変わらないので、今求めたい式は

　 210n + 157 (nは0以上の整数)

もしくは

　　　　　210n - 53 (nは自然数)

になるかと思います。

a,b,c,dを求める部分は、等式をばらして考えるとやりやすいですね。
行列を使えば解けそうですが、面倒なんで地道に右側の2式から数字をずらして気合で解いてみました。

回答No.3

eatern27

>6n-1だと思うのですが、（間違ってたら指摘お願いします）
この辺りを見る限り、

>2n-1と3n-1の公倍数を表す式は
ってのは、普通の意味の「公倍数」のことではなく、
{2n-1|n∈N}と{3n-1|n∈N}の共通部分(つまり、2n-1とも3m-1とも表せる自然数の一般式)
という意味なんですかね？？　

だとすれば、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%81%AE%E5%89%B0%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86
この辺りが参考になるでしょうか。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%81%AE%E5%89%B0%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86

回答No.2

proto

2n-1で表される数は、1,3,5,7…
3n-1で表される数は、2,5,8,11…
最小公倍数は、2,15,40,77…
となり77以外は6n-1で表される数ではありません

予想を立てるのはいいのですが、具体的に値を代入して検証してます？

2n-1と3n-1の公倍数は2n-1でも3n-1でも割れる数だから、単純に考えれば(2n-1)*(3n-1)になると思うんですが。
もちろん2n-1,3n-1が互いに素ならば(2n-1)*(3n-1)が最小公倍数になると思います。

補足

書き方が悪かったみたいです。

自分がいいたかったのは、
2n-1で表される数は1,3,5,7,9,11,13,15,17・・・
3n-1で表される数は2,5,8,11,14,17・・・
ですよね。

2n-1と3n-1で共通する数が
5,11,17・・・
この共通する数を式で表すと6n-1になりますよね。
こういうことがいいたかったのです。

間違われて当然の書き方でした。
すいませんでした。

回答No.1

poohron

たとえば、1と2の公倍数は2,4,6,8,10,…と無限にあるので
6n-1というような式は明らかに間違っていますね。

最小公倍数のことを指してらっしゃるのでしょうか?
だとしても
2n-1と3n-1の最小公倍数は6n-1
は違いますよ。
単純にn=1とか代入してみればすぐに間違いが分かります。
n=1のとき、2n-1=1,3n-1=2,6n-1=5ですからね。

与えられた式だけでは最小公倍数を表すことは不可能です。
最大公約数が与えられていれば可能ですが。

なお、最小とは限らない公倍数の『一部』はこの場合、
k(2n-1)(3n-1)　（kは任意の自然数）
で表すことができます。
しかし、単純に2つの数を掛け合わせただけなので、
まったく意味の無い式です。