トランプを４人に配ったとき

質問

確立の問題です。
ジョーカーを除く、５２枚のカードを１３枚づつ４人に配りました。
この時、４人全員が１種類のカードだけになる、つまりＡさんはダイヤだけ１３枚、Ｂさんはハートだけ１３枚・・・という感じになる確率は？

実際、このような珍事があったと、Ｗｅｂで話題になったことがあります。その時書かれていた数値はわすれましたが、その算出方法を知りたいです。

同じく、ジョーカーを除く、５２枚のカードで、神経衰弱ゲームを行い、最初の人が１回ですべてのカードを引き当てる確立は？もちろん、イカサマはなしで。
これは、(1/51)*(1/49)*(1/47)・・・で良いのでしょうか？

回答No.4

alice_44

あー A No.2 が正しい。
やり方は、全く同じだったが…
ミスったよ。

回答No.3

ask-it-aurora

答えは既にNo.2で出ていますね．半分くらい重複しますが，もっと具体的に計算してみます．

(I) ある事象の起こる確率とは「すべての場合の数」と「その場合の数」の比のことです．この問題では「すべての場合の数」はすべてのカードの並び替えで52!通りです．一方，質問にあるような「場合の数」はスートの並び替え4!通りと各スートのカードに関する並び替え(13!)^4通りの積4!*(13!)^4通りです．したがってこの事象の起こる確率pは
p = (4!*(13!)^4)/(52!)
です．

理論式は確かに上のようになるのですが，これではpの値の大きさがよくわかりません．けれどもpの値を正確に計算するのは52!が〈ものすごく〉大きな数になるので大変です．(具体的には52! ~ 8.1*10^67．)しかし常用対数を使えばpの概数を比較的かんたんに求めることができます．

実際の計算は以下の通り．
log(p)
= (log(4) + log(3) + log(2) + log(1)) + 4(log(13) + … + log(1)) - (log(52) + … + log(1))
~ -27.3493
最後の部分は関数電卓か常用対数表を使ってください．この値からpの概数が得られます．
p ~ 10^(-27.3493)
= 10^(0.6507) * 10^(-28)
~ 4.5 * 10^(-28)

(II) 基本的にやることは(I)と変わりません．「すべての場合の数」は(I)と同様で52!通りです．一方，最初の人が1回ですべてのカードを引く「場合の数」は何通りでしょうか．これは次のように考えるとわかります．最初の人が引く順番にカードを並べておきます．1回ですべてのカードを引くので1番目と2番目の数字，3番目と4番目の数字，…，51番目と52番目の数字は同じです．このとき「場合の数」は1, 3, …, 51番目に書かれている数字の並べ方26!/((2!)^13)通りと各数字に関するスートの並び替え(4!)^13通りの積になります．したがってこの事象の起こる確率qは
q = (26!*(4!)^13)/(52!*((2!)^13)) = (26!*12^13)/(52!)
です．

先の問題と同様に計算すればlog(q) ~ -27.2717なので，この値からqの概数が得られます．
q ~ 10^(-27.2717)
= 10^(0.7283) * 10^(-28)
~ 5.3 * 10^(-28)

(蛇足) コインを投げたとき表が出る確率は1/2なので2回に1回は表が出るだろうと期待します．ではもし毎秒1回カードを配るとすると，どれだけ待てばこの珍事が起こるでしょうか．宇宙の年齢は4.3 * 10^(17)秒らしいので，この珍事が起きるまでには宇宙の年齢のおよそ一千億倍は待たねばなりません．こう考えるとこの珍事が実際に起こったというのは眉唾もので，見事なマジックだったと考えるのが妥当でしょうね．

回答No.2

nag0720

始め質問は、トランプの数字を無視して考えて、
4種類が13枚ずつあるので並べ方の数は、52!/(13!)^4
13枚1組として4組の並べ方の数は、4!
確率は、4! / (52!/(13!)^4) = 4!(13!)^4/52!

次は、トランプのスート（種類）を無視して考えて、
13種類が4枚ずつあるので並べ方の数は、52!/(4!)^13
2枚1組として26組の並べ方の数は、26!/(2!)^13
確率は、(26!/(2!)^13) / (52!/(4!)^13) = 26!(12)^13/52!

回答No.1

alice_44

とりあえす、答えだけ。
上. (4!)(13!の4乗)/(52!)
下. (26!)(3の13乗)/(52!)

導き方は、明日誰も書いてなかったら、書きます。