トランプの確率の求め方

質問

確率に関する質問です。
トランプの各マークの1、2、3、4、5、J、Q、K、及びジョーカーを1枚を含めた、
合計33枚のカードがあります。

その中から、まず無作為に7枚カードを抜き取ります。
残ったカード（26枚）を2人に13枚ずつ配ります。
この時、手札に同じ数字のカードが4枚揃う確率はどのくらいでしょう？

（2人で大富豪をする時に上記のようなカードを使用した場合、革命を起こせる確率が知りたいのです…）

どなたか教えてください！

回答No.10

arp2600 · ベストアンサー

No.7です。

＞１点追加でお願いしたいのですが、
＞当初の考え方通り、同じ数字のカード４枚のみで革命が起こせるという場合の，
＞・自分の手札だけで革命が起こせる確率（これは#4の回答通り、156019/1137235=0.137…でしょうか）
＞・自分または相手の手札で革命が起こせる確率
＞を教えていただけるとありがたいです。

同じ数字のカード４枚のみでの、自分の手札だけで革命が起こせる確率は
#4の回答通り、156019/1137235=0.137…で間違いないと思います。
実用的には、C(8,1)*C(29,9)/C(33,13) で十分だと思いますが、
正確には、156019/1137235 のはずです。

また、同じ数字のカード４枚のみでの、自分または相手の手札で革命が起こせる確率は、
222374201/901620585 (=0.246…)
となりました。

(一応、どのようにして求めたのかを、書いておきます。
x,y の多項式
(1+4*x+4*y+6*x^2+12*x*y+6*y^2+4*x^3+12*x^2*y+12*x*y^2+4*y^3+4*x^3*y+6*x^2*y^2+4*x*y^3)^8*(1+x+y)
における x^13*y^13 の係数が 33473261803520 なので、
求める確率は、
1-(33473261803520)/(C(33,13)*C(20,13))=222374201/901620585.)

お礼

＃４・＃７さんこと，＃１０さん，再びありがとうございます。
毎回計算をしていただいてありがとうございます。

これですべて判明しました。
数字カードだけで自分が革命を起こせる確率は約１４％。
そして、少なくとも一方が革命を起こせる確率は、約２５％。
二人とも革命を起こせる確率は、約１４＋１４－２５＝３％
なので…

★ジョーカーが手札になくても革命を起こせる確率
　二人とも革命を起こせない・・・約７５％
　自分だけが革命を起こせる・・・約１１％
　相手だけが革命を起こせる・・・約１１％
　二人とも革命を起こせる　・・・約　３％

★ジョーカーが手札にあってもなくても革命を起こせる確率
　二人とも革命を起こせない・・・約３０％
　自分だけが革命を起こせる・・・約３０％
　相手だけが革命を起こせる・・・約３０％
　二人とも革命を起こせる　・・・約１０％

ということになりそうです。

派生的に知りたいことはいろいろと出てきましたが、
当初知りたかったことはすべて判明しましたので、
これをもって回答を締め切らせていただきます。
回答してくださった方，ありがとうございました。

回答No.9

tecchan22

＃８です。
ジョーカーなしのは、自分が起こせる確率は＃４にある通りで、どちらか一方が起こせる確率も、割と簡単でしょう。
だから、ジョーカーを入れて良いかどうかで、ずいぶん確率が変わるんですね。（実に三倍！）
あなたが求めていることも必要なら答えますが、もともとジョーカーをいれない３２枚で、革命を起こせる確率を考えるのも面白いかと思います。
しかし僕は今日は時間がないので、また明日にでも！
（その前に＃４・７さんが答えてくれそうですネ。僕より計算うまいし^^;）

お礼

ありがとうございます。
＃４・７さんに＃１０で答えていただけました。

ジョーカーを入れない確率も面白そうですね。
しかもその確率を、普通の大富豪（５２枚+２枚のジョーカーあるいはジョーカー無しで、４人で遊ぶ場合）の際に革命を起こせる確率と比較すると
もっと面白いことが分かりそうです。

感覚的にはジョーカーは無いよりもあるほうが、
また４人ルールよりも２人ルールで大富豪するときのほうが、
革命を起こしやすそうですね。
ただし、実際ゲームをするときには、
カードの交換があるので、求めた確率とはまた違うことが起きていると思います。
それをどうやって計算で処理するのか私にはちょっとわかりませんが。

確率は奥深いですね。
自分で計算できるようになりたいです。

回答No.8

tecchan22

ああ、＃４・７さんが答えてますね。

僕も同じ数値になりましたが、＃４・７さんは母関数を使ってるので
簡単ですね～。

つまり、自分が革命を起こせる確率は約４０％。
そして、少なくとも一方が革命を起こせる確率は、約７０％。（大きい！）
とゆーことは、二人とも革命を起こせる確率は、約４０＋４０－７０＝１０％。（小さい！）
つまり、
二人とも革命を起こせない・・・約３０％
自分だけが革命を起こせる・・・約３０％
相手だけが革命を起こせる・・・約３０％
二人とも革命を起こせる・・・・約１０％
ですね。

あとは、革命を偶数回起こせる確率と、奇数回起こせる確率の比率（ほぼ１：１だろうか？）なんかが、少し気になる所ですね・・。

お礼

まとめていただいてありがとうございます。
質問をしたときには、自分が何を知りたいのか漠然としてましたが、
まとめていただいたようなことが知りたかったということが分かってきました。
おかげさまで頭がすっきりしてきました。

上記のまとめた確率は、

　・同じ数字が４枚揃って革命を起こせる場合
　・同じ数字３枚+ジョーカーによって革命を起こせる場合

とが含まれているんですよね。

同じ数字が４枚揃って（ジョーカーを使わないで）革命を起こせる場合だけの、
上記のようなまとめが作れれば完璧なのですが…
お願いできますか？

回答No.7

arp2600

No.4 です。
＞＞このとき分子は、tについての多項式(1+4t+6t^2+4t^3)^8*(1+t)における
＞＞t^13の係数です。その係数は494532864です。

＞の部分が分かりませんでした。

４枚のA(エース)から０枚を選ぶ方法は１通り。
４枚のA(エース)から１枚を選ぶ方法は４通り。
４枚のA(エース)から２枚を選ぶ方法は６通り。
４枚のA(エース)から３枚を選ぶ方法は４通り。
これらのことを、(1+4t+6t^2+4t^3) で表しています。
エース以外の他７つの番号についても同様です。
また、
１枚のジョーカーから０枚を選ぶ方法は１通り。
１枚のジョーカーから１枚を選ぶ方法は１通り。
これを、(1+t) で表しています。
たとえば、４枚のAと４枚の２、合計８枚のカードの
中から同じ数字のカードが４枚揃わないように５枚を
選び出す方法は、
(1+4t+6t^2+4t^3)^2 の t^5 の係数、つまり48通りあります。

＞ベン図のようなものを描いて、
＞重複している部分を除けばいいんですよね。
＞よろしければ具体的な式を教えていただければありがたいです。

少なくとも１組の、同じ数字のカード４枚が揃うような
組み合わせの総数を求めるには、同じ数字のカードが高々３枚しか
揃わない確率を求めて、それを１から引くのが楽な方法です。
これを式で求めるには、包除原理が有効です。
具体的な計算式は既にANo.4の投稿で示しました。

ところで、
ジョーカーと同じ数字のカード３枚でも革命は起こせると
いうルールなのですね。
ジョーカーと同じ数字のカード３枚でも革命は起こせると
いうルールでの、自分の手札だけで革命が起こせる確率は、
1-(((1+4t+6t^2+4t^3)^8のt^13の係数)+((1+4t+6t^2)^8のt^12の係数))/C(33,13)
=1-(293307392+45432576)/C(33,13)
=4186187/10235115 (=0.409…)

また、
ジョーカーと同じ数字のカード３枚でも革命は起こせると
いうルールでの、自分または相手の手札で革命が起こせる確率は
次のようになりました。
1-(6832372492288+2*3253960636416)/(C(33,13)*C(20,13))
=365267489/521990865 (=0.699…)

補足

詳しく説明していただいてありがとうございました。

＞(1+4t+6t^2+4t^3)^2 の t^5 の係数，つまり48通り

のような計算方法がいまいちわからないのですが…
考え方については理解したつもりなので，今回はスルーしようかと思います。

ジョーカーと同じ数字３枚で革命が起こせる場合の確率も求めていただき、
ありがとうございました。

１点追加でお願いしたいのですが、
当初の考え方通り、同じ数字のカード４枚のみで革命が起こせるという場合の，

　・自分の手札だけで革命が起こせる確率（これは#4の回答通り、156019/1137235=0.137…でしょうか）
　・自分または相手の手札で革命が起こせる確率

を教えていただけるとありがたいです。

回答No.6

Ishiwara

＃１です。
> ×10の意味がよくわかりません。８ではないかと思うのですが
ごめんなさい。確かに８です。＃２さんが示されたとおりです。

お礼

やはりそうですよね。
＃１さんのおかげで実用目的な確率の求め方について参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.5

tecchan22

ちょっと質問ですが、

(1)ジョーカーと同じ数字のカード３枚では、革命は起こせないのですか？そういう革命は考えないのですか？

(2)自分が革命を起こせる確率を知りたいのですか？それとも、少なくとも一方が革命を起こせる確率を知りたいのですか？

補足

言葉足らずで申し訳ありません。

＞(1)ジョーカーと同じ数字のカード３枚では、革命は起こせないのですか？そういう革命は考えないのですか？

確かにジョーカー１枚と、同じ数字のカード３枚で革命を起こせます。
しかし、今回はそのような革命を考慮すると複雑になると思い、
想定はしていませんでした。
が、上記のような場合も含めた確率を教えていただけるのであれば、ありがたいです。

＞(2)自分が革命を起こせる確率を知りたいのですか？それとも、少なくとも一方が革命を起こせる確率を知りたいのですか？

質問したときの意図としては、
自分が革命を起こせる確率を知りたいと思っていました。
なぜなら、自分が革命を起こせる確率が分かれば、
その確率を2倍すると、
少なくとも一方が革命を起こせるだいたいの確率が分かるだろう
という安直な考えを持っていたからです。

両方が革命を起こせる確率はかなり低いと思うので、
２人のうちどちらかが革命を起こせる確率は知りたいです。
教えていただけるのであれば嬉しいです。

回答No.4

arp2600

＞この時、手札に同じ数字のカードが4枚揃う確率はどのくらいでしょう？

いままでの話の流れからすると、
自分の手札に同じ数字のカードが4枚揃う確率を求めればいいのですね。
まず、自分の手札に同じ数字のカードが高々３枚しか揃わない確率を
求め、そしてそれを１から引けばいいです。
自分の手札に同じ数字のカードが高々３枚しか揃わない確率 p を求めます。
分母は、C(33,13).
このとき分子は、tについての多項式(1+4t+6t^2+4t^3)^8*(1+t)における
t^13の係数です。その係数は494532864です。
よって、p=494532864/C(33,13)
従って、自分の手札に同じ数字のカードが4枚揃う確率は、
1-p=1-494532864/C(33,13)=156019/1137235.(答)

(上記の p は包除原理を利用して求めることもできます。
計算式は、
p=(Σ[k=0,3](-1)^k*C(8,k)*C(33-4k,13-4k))/C(33,13)
=494532864/C(33,13).)

＞8Ｃ1×29Ｃ9/33Ｃ13だと、
＞同じ数字のカードが1組以上揃う確率を表していることになるんですね。

いえ、これは誤りです。
このような数え方では、同じ組み合わせを
重複して数えてしまっています。

お礼

ありがとうございます。
求め方の説明は納得できましたが、

＞このとき分子は、tについての多項式(1+4t+6t^2+4t^3)^8*(1+t)における
＞t^13の係数です。その係数は494532864です。

の部分が分かりませんでした。

＞＞8Ｃ1×29Ｃ9/33Ｃ13だと、
＞＞同じ数字のカードが1組以上揃う確率を表していることになるんですね。

＞いえ、これは誤りです。
＞このような数え方では、同じ組み合わせを
＞重複して数えてしまっています。

なんとなくそのような気はしていましたが…
ベン図のようなものを描いて、
重複している部分を除けばいいんですよね。
よろしければ具体的な式を教えていただければありがたいです。

ただ今までの回答（＃1～＃４）から、
自分の手札に同じ数字のカードが四枚揃う確率は、
だいたい13％～14％くらいだということは共通しているようです。
ゲームをしていた時の感覚よりも高確率なので、
ちょっとびっくりです。

回答No.3

tarame

No.2です
＞13/93だと思うのですが。
その通りです。失礼しました。

「４枚が１組だけ」＝「１組以上できる」－「２組以上できる」だから
４枚が２組できる確率は、8Ｃ2×25Ｃ5／33Ｃ13＝7/(31×29) より
４枚が１組だけの確率は、13/93－7/899＝356/2697　となります。

お礼

再びありがとうございます。
１組だけ求めたい場合は，２組以上できる場合を除けばいいんですね。
わかりやすいです。

自分で計算してみたら、

＞４枚が２組できる確率は、8Ｃ2×25Ｃ5／33Ｃ13＝7/(31×29)

のところは
8Ｃ2×25Ｃ5／33Ｃ13＝7/(31×29×3)となったのですが…
なので、４枚が１組だけの確率は13/93－7/2697＝370/2697になりましたが
これでいいのでしょうか。

回答No.2

tarame

33枚から13枚取り出したとき、
同じ数字のカード４枚が１組以上揃う確率は
　8Ｃ1×29Ｃ9/33Ｃ13＝13/98

お礼

ありがとうございます。
7枚カードを抜き取る部分の処理の仕方が分からずにいました。
#1の方と同じ考え方ですね。
8Ｃ1×29Ｃ9/33Ｃ13だと、
同じ数字のカードが1組以上揃う確率を表していることになるんですね。

ただ、

＞8Ｃ1×29Ｃ9/33Ｃ13＝13/98

8Ｃ1×29Ｃ9/33Ｃ13＝13/93だと思うのですが。

回答No.1

Ishiwara

「手札に」は「自分の手札に」と解釈します。
まず、配られない７枚と、相手に配られた１３枚、合計２０枚は「１つの山」と考えることがたいせつです。
すると、あらゆる組み合わせは、33Ｃ13 です。
自分にＡが全部来る組み合わせは、まずＡを人為的に全部自分に配り、残りの２９枚を２０枚と９枚に分ける組合せ、29Ｃ9です。
そして、Ａだけでなく、２、３、４、‥全部について合計すると、(29Ｃ9×10) です。
よって、答は (29Ｃ9×10)／(33Ｃ13) となります。実用的には、この値で十分です。
しかし、上記の分子の組み合わせには、「Ａも２も全部来る」ような場合が二重計上されています。「Ａと２」で考えると、その８枚を全部人為的に取った後の組み合わせは、25Ｃ5 とおりです。それを「Ａと２」だけでなく、8Ｃ2 とおり考えなければなりません。そこで、
((29Ｃ9×10)-(25Ｃ5×8Ｃ2))／(33Ｃ13)
となります。
ところが、この答は「Ａ・２・３」などの３種類がすべてが入っている場合の数が重複して引き算されているので「足し戻し」をしなければなりません。
さらに、その結果は「Ａ・２・３・４」などの４種類がすべて入っている場合の数が重複して足し戻されているので、また「引きなおし」が必要です。
このように、多種類のものがある重複組み合わせは、かなり煩雑ですが、末の項になるほど「宝くじに多数回当たる人」のように急速に減少しますから、実用目的であれば、あまり先のことは考えなくてもいいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
配られない７枚の処理の仕方が分からずにいました。
１つの山と考ればいいのですね。

同じ数字のカードが4枚×2組～4組ある場合を除かないといけないことについての説明はよくわかりました。

しかし、

＞そして、Ａだけでなく、２、３、４、‥全部について合計すると、(29Ｃ9×10) です。

×10の意味がよくわかりません。
１、２、３、４、５、J、Q、Kなので、8Ｃ1=8ではないかと思うのですが。