トランプの確立

質問

ジョーカーを除いたトランプ52枚をシャッフルして一枚引き、カードの色をＸとする。続けて残りの51枚を再度シャッフルして一枚引き、カードの色をＹとする。Ｘ,Ｙが同じ色になる確率を求めよ。

上記問題の解き方がわかりません。
1枚目のカードが赤の確立＝２６／５２
2枚目のカードが赤の確立２５／５１

1枚目のカードが黒の確立＝２６／５２
2枚目のカードが黒の確立２５／５１

Ｐ（Ｙ＝赤｜Ｘ＝赤）×Ｐ（Ｘ＝赤）＋Ｐ（Ｙ＝黒｜Ｘ＝黒）×Ｐ（Ｘ＝黒）
＝（２５／５１）／（２６／５２）×（２６／５２）＋
（２５／５１）／（２６／５２）×（２６／５２）

と思ったのですが、間違っていました。
どなたがアドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

単純に考えると、最初に引くカードは赤か黒、どちらでもいいんです。赤か黒か気にする必要はありません。この操作は確かに赤か黒という確率的な操作ですが、そのカードと同色（または異色）を次に引くということを考えると、以下のようになります。

　カードの枚数は最初は52枚です（4種が13枚ずつ、赤・黒同数でそれぞれ26枚）。1枚（X）引くと51枚になります。最初に引いたカードと同色が25枚、異色が26枚です。ですから次に引くカード（Y）については、

・同色のカードを引く確率：25/51
・異色のカードを引く確率：26/51

になります。

　他の回答者様へのお礼コメントを拝読しますと、

>教材に、
>P(X=赤、Y=赤)+P(X=黒、Y=黒)
（「赤を引いて次も赤の確率」＋「黒を引いて次も黒の確率」）
>=P(Y=赤｜X=赤)P(X=赤)+P(Y=黒｜X=黒)P(X=黒)
（『「最初が赤だったとして、次が赤の確率」×「最初が赤の確率」』＋『「最初が黒だったとして、次が黒の確率」×「最初が黒の確率」』）

と解くように指導しているわけですね。

　P(X=赤)とP(X=黒)は最初に引くカードですから、どちらも1/2です。注意点は、この操作で元のカードは1枚減ることです。

　P(Y=赤｜X=赤)というのは、「最初のカード（X）が赤だったときに、次のカードが赤である確率」ということです。注意したいのは、最初カード（X）が既に引かれた状況を考えているということです。ですから、最初のカードを引く確率を計算しません。51枚中の25枚ということです（赤は1枚減っている）。確率は25/51です。P(Y=黒｜X=黒)も全く同じで、25/51です。

　それを計算すると、

　P(Y=赤｜X=赤)P(X=赤)+P(Y=黒｜X=黒)P(X=黒)
＝(25/51)(1/2)+(25/51)(1/2)
＝(25/51)(1/2+1/2)
＝(25/51)×1
＝25/51

となります。しかし、枚数について考えると、上記で考えたように赤と黒で全く同じになるので、赤か黒かは気にしなくてよかったわけです。

お礼

説明ありがとうございます。
説明していただけると「なるほど」となるのですが、なかなか自分で解が導きだせません。

公式だのみで値を代入していましたが、確立を考えないと駄目ですね。
もう一度、基礎からやり直そうと思います。

ありがとうございました。

回答No.2

staratras

すべての場合を考えてみたらわかりやすいかもしれません。

1枚め赤の確率　26/52=1/2 このとき　
2枚め赤の確率 (1/2)×(25/51)…（１）
2枚め黒の確率 (1/2)×(26/51)…（２）

1枚め黒の確率　26/52=1/2 このとき
2枚め赤の確率 (1/2)×(26/51)…（３）
2枚め黒の確率 (1/2)×(25/51)…（４）

題意を満たすのは　（１)と（４）の場合だから
(1/2)×(25/51)×2=25/51

お礼

解り易いアドバイスありがとうございます。
この問題は上記の様に考えると理解できます。

教材に、
P(X=赤、Y=赤)+P(X=黒、Y=黒)
=P(Y=赤｜X=赤)P(X=赤)+P(Y=黒｜X=黒)P(X=黒)
とあったので、
(25/51)÷(26/52)×1/2
＋(25/51)÷(26/52)×1/2
として間違いました。
P(Y=赤｜X=赤)は変形すると
P(X=赤、Y=赤)÷P(X=赤)
値を代入して
(25/51)÷(26/52)が間違っているところだと思うのですがこの式が理解できていません。
P(X=a｜Y=b)の利用の仕方を理解したいと悩んでいます。

ご指南よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion

26/52 × 25/51 × 2
= 25/51